图3 中上述实验数据的Weibull分布回归分析结果表明：lgσ
bN和lnln（1-p）
之间的线性相关系数为0.9 ,但也大于起码值0.765。上述结果表明, 陶瓷切口强度也服从Weibull分布, 其相应的特征参数列于表2：
应指出的是, 图2 、3 中Kt= 1.0 时的强度为光滑试样的弯曲断裂强度, 因此, 从本文的上述分析和文献的结果可以看出:不仅陶瓷切口强度, 而且光滑试样的弯曲断裂强度都服从正态分布、对数正态分布和Weibull分布。
2.2 关于脆性陶瓷弯曲强度的概率分布
普遍认为脆性陶瓷的断裂强度服从Weibull分布文献和本文则根据子样数较小(12 个左右) 条件下,A12O3 陶瓷的切口强度实验结果的统计分析发现, 陶瓷的弯曲强度也符合正态分布和对数正态分布。实际上, 如图7 所示, 当子样数达127 时 , 陶瓷材料弯曲强度的实验结果也同时服从正态分布、对数正态分布和Weibull分布。
上述现象的原因, 首先在于这三种统计分布函数都具有良好的数据拟合能
力。
其次，现代数理统计学的逻辑基础是Popper的证伪逻辑阵，所谓的“ 原假设通过检验” 只意味着在一定的误差范围和可信度条件下, 不能排斥原假设成立, 因此, 还允许接受其他不同的几种假设。目前, 还不能严格证明脆性材料的断裂强度服从哪一种统计分布最好, 只能根据拟合效果和应用条件选择合适的统计分布函数。本文的结果表明, 对数正态分布可相对较好地拟合陶瓷材料的弯曲强度实验结果。
2.3 关于脆性陶瓷切口强度的概率分布
从本文的分析可知, 切口的存在并没有使切口强度的概率分布函数不同于弯曲强度的概率分布函数, 既然弯曲强度可同时服从正态分布、对数正态分布和、Weibull分布,那么也就不能排除切口强度同样服从上述三种分布。
与弯曲强度的概率分布函数相比, 切口的存在只是改变了其中的特征参量值。所幸的是，切口强度概率分布函数的特征参量可以通过Kt 与弯曲强度相应的参量联系起来上述结果为根据光滑试样常规的弯曲强度实验结果预测切口强度的概率分布及其特征参量提供了可能, 这对于陶瓷构件的强度评价和结构设计具有重要意义。
从图中的线性相关系数可以看出:在文献所述的实验条件下, 对数正态分布可相对较好地拟合切口强度的实验数据。
2.4 结论
1.对A12O3陶瓷切口强度的实验数据的进一步分析表明, 在同一实验条件下, 陶瓷切口强度服从弯曲强度相同的概率分布, 切口强度和弯曲强度都同时服从正态分布、对数正态分布和Weibull分布,对数正态分布可对实验数据给出较好的拟合效果。
2.切口强度和弯曲强度概率分布特征参量间存在如下的相互关系：
对于正态分布：
对于对数正态分布：
对于Weibull分布:
3.切口强度的概率分布密度函数可由弯曲强度的概率分布密度函数和应力集中系数Kt共同确定。上述结果可用于陶瓷构件安全的可靠性评估, 并可推广到其他的脆性材料构件。
第三章 陶瓷材料Weibull分布的统计性质
Weibull分布参数的点估计是陶瓷材料断裂强度统计分析研究中的一项重要内容, 通常采用最小二乘法或极大似然法进行。尽管不同的点估计方法中所包含的数学处理过程各不相同, 但都属于一个根据有限容量样本估计无限容量总体分布参数问题。根据统计学原理, 用点估计方法估计总体参数时, 即使得到的是一个无偏、有效的估计量, 由于样本尤其是容量较小的样本，本身存在有一定的随机性, 由一个样本算得的点估计值也并不一定恰好就是总体分布参数的真值；而由不同样本获得的估计值之间也肯定会存在一些偏差。也就是说, 点估计值本身具有统计性质。
在过去的几十年中, 陶瓷材料Weibull分布参数点估计值的统计性质已经得到了大量的研究, 这些研究包括点估计值的无偏性检验、强度样本容量对点估计结果的影响以及不同点估计方法所得结果间的对比等。在这些研究中, 关于点估计值的分布问题一直没能得到很好解决。曾经假定Weibull模数点估计值近似服从正态分布, 并以此为基础对Weibull分布参数最小二乘估计值的无偏性和有效性进行了研究。此后, 这一假定又陆续被一些学者用于各自的研究中。然而, 这些工作都没有就这一假定的合理性进行验证。相反, Khalili等人则发现, 用正态分布描述Weibull模数点估计值的分布是不准确的。考虑到Weibull分布参数估计精度将直接对评价材料性能, 尤其是预测材料断裂寿命的可靠性产生影响, 本文将借助于Monte Carlo 数值模拟试验, 对陶瓷材料Weibull模数最小二乘估计值的统计分布性质作出定量的描述。
3.1 Weibull模数的最小二乘估计
描述陶瓷材料断裂强度统计分布特征的Weibull函数一般形式为：
式中, p为试样断裂强度不高于σ的概率σ0和m 分别称为Weibull分布的尺度参数和形状参数；其中m通常又称为Weibull模数。可以将上式改写为：
可以看出，lnln 1/（1-p）击与lnσ 之间呈线性关系。这就是最小二乘法估计Weibull模数的基础。进行最小二乘估计的具体步骤是:采用常规的测试技术测定一批共N 个试样的断裂强度, 将测试结果按由小到大顺序排列成一个序列:σ1<σ2
便得到N 个(Pi,σi)数对；采用最小二乘法对这N 个(Pi,σi) 数对进行线性回归分析便方便地得到材料Weibull分布参数m 和σ0 的最小二乘估计值m*和σ*。
3.2 数值模拟试验方法
服从任何一种统计分布的样本都可以根据其累积分布函数通过抽样的方法而获得。本研究根据这一原理, 采用计算机模拟技术生成了服从两参数Weibull分布的陶瓷强度“ 测试值” 样本, 并对其进行了统计学分析。具体步骤如下： (1) 采用计算机的标准随机数程序生成N 个(O ,l) 均匀随机数σi(1= 1 ,2 , ? ,N )；
( 2) 设定m和σ0值后, 将各个αi值作为P值代入计算得到一组N 个随机数。i ( 1=1,2, ? ,N ), 从而得到一个容量为N 、且服从具有指定参数阴m,σi 的 两参数Weibull分布的强度“ 测试值” 样本；
(3) 采用最小二乘法对样本的分布参数进行估计得到m 的估计值m*；
(4) 在保持m和σ0固定的前提下, 将步骤(1 ) 一( 3 )重复n 次便得到一个容量为n的m*值样本, 计算了该样本的平均值及均方差；
式中,n 为所考虑的强度“ 测试值” 样本的数量。
(5 ) 分别改变强度“ 测试值” 样本容量N 以及Weibull为布参数真值m ,σ
0
后, 重复步骤(l ) 一( 4 ),以分析N ,m 以及σ0对m* 统计性质的影响。顾唯明曾经对由计算机模拟生成的服从Weibull分布的随机数样本进行过分检验, 证实了这一方法的可靠性。
由计算机模拟生成强度“ 测试值” 样本, 与由实验直接获得样本相比较, 至少有两方面的优点。首先, 模拟样本分布参数的真值m 和σ0下文中将分别记为mtr 和σtr以示区别)均为已知, 这对于定量的统计分析无疑是极为有利的。其次, 模拟样本的生成快速、简便、可靠, 不仅实验成本显著降低, 而且由于避免了实际强度测试过程中可能存在的各种误差(如试样之间存在的尺子、表面机加工质量等方面的微小差异等)对最终估计结果的影响问题, 实验精度将大大提高。