内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 课时跟踪检测（十七） 任意角和弧度制及任意角的三角函数
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A．2 C．6
B．4 D．8
112
解析：选C 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2212
＝×4×r，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6. 2
2．已知点P?A.C.5π 611π
6
1??3
，－?在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
2??2
B.D.2π
35π 3
解析：选C 因为点P?1??3
，－?在第四象限，
2??2
1
－23
根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，
33
2又θ∈[0,2π)，可得θ＝
11π
. 6
3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( ) A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：选C 因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
1
A．(－2,3] C．[－2,3)
B．(－2,3) D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半
??3a－9≤0，
轴上，所以有?
?a＋2＞0，?
解得－2＜a≤3.
5．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0
B．cos(－305°)＜0 D．sin 10＜0
?22π?＞0
C．tan?－
3???
解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 22π2π22π
因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；
333
7π
因为3π＜10＜，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，
2
?22π?＜0，sin 10＜0，故D正确． tan?－?3??
??
6．集合?α
??
?kπ＋π≤α≤kπ＋π，k∈Z?42?
??
?中的角所表示的范围(阴影部分)是??
( )
πππ
解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与
424πππ
≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此242ππ
时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，结合图象知选C.
42
7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°
8．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，
2
则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)． 答案：(－1，3)
9．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12
αr21
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
2R＋αR答案：1∶2
10．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m， ∴r＝|OP|＝(－3)＋m(O为原点)， 即r＝3＋m. ∴sin α＝＝22
2
2
2
2
2m，则m＝________. 4
mr2mm＝， 422
∴r＝3＋m＝22， 即3＋m＝8，解得m＝±5. 答案：±5
B级——中档题目练通抓牢
1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A.π
3
B.π 2
2
C.3 D.2
解析：选C 设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长为3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为
3RR＝3.
πsin θcos θ
2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋5|sin θ||cos θ|＋
tan θ
的值为( )
|tan θ|A．1
B．－1
3
C．3
解析：选B 由α＝2kπ－D．－3
π
(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，5
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
1
3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )
54A. 33C．－ 4
3B. 44D．－
3
解析：选D ∵α是第二象限角，∴x<0. 又由题意知
1＝x， x2＋425
x解得x＝－3. 44
∴tan α＝＝－. x3
25
4．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则
327扇形的弧长与圆周长之比为________．
2r解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，
31?2r?2α??2?3?5则＝， 2
πr275π∴α＝. 6
5π2r·35l6
∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. c2πr185
答案： 18
5．(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________．
π
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin4
4
π25π5π2
＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角
42442
?x∈?，π?45π?. 4??
答案：?
?π，5π?
4??4?
11
6．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
|sin α|sin α(1)试判断角α所在的象限；
?3?(2)若角α的终边上一点M?，m?，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的
?5?
值．
11
解：(1)由＝－，得sin α<0，
|sin α|sin α由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．
?3?22
(2)因为|OM|＝1，所以??＋m＝1，
?5?
4
解得m＝±. 5
又α为第四象限角，故m<0， 4
从而m＝－，
5
4－5ym4
sin α＝＝＝＝－.
r|OM|15
7．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
341
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－. 555341
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
5553?π?(2)当a＞0时，sin θ＝∈?0，?，
2?5?
5
4?π?cos θ＝－∈?－，0?， 5?2?
3?4?则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 5·sin??－5??＜0；
当a＜0时，sin θ＝－3?π?5∈??－2，0??，
cos θ＝45∈??π?
0，2???，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos??34?－5???·sin 5＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． C级——重难题目自主选做 已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， ?2r＋l＝8，(1)由题意可得?
??1
?2lr＝3，
解得?
??r＝3，??r＝1，??l＝2
或?
?
?l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S111?l＋2r扇＝2lr＝4l·2r≤4??2??21?＝?8?2
4×??2??
＝4，
当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，
∴S112
扇＝2lr＝2r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，
当且仅当r＝2，l＝4，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
6