第四节 数列与不等式的综合应用
数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
题型一 数列中的不等关系
例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4?10，S5?15，则a4的最大值是 . 点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．
4?3?4a?d?10?2a1?3d?5a4a1?6d?101?解法1：由题意，?，即?，，42????5a1?10d?15?a1?2d?3?5a?5?4d?151??2?a1?3d．
建立平面直角坐标系a1od，画出可行域??2a1?3d?5（图略），画出目标函数即直线
?a1?2d?3a4?a1?3d，由图知，当直线a4?a1?3d过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函
数取最大值a4设
?4．
，
由
解法2：前面同解法1
a1?3d??1(2a1?3d)??2(a1?2d)?2?1??2?1??3?1?2?2?3解得
??1??1???2?3，
∴a1?3d??(2a1?3d)?3(a1?2d)
?2a1?3d?5??(2a1?3d)??5由不等式的性质得：? ?? ??(2a1?3d)?3(a1?2d)?4，即
?a1?2d?3?3(a1?2d)?9a4?a1?3d?4，a4的最大值是4．
解法3：前面同解法1， 5?3d??a4?a1?3d??3d ∴5?3d?a?3?d ∴5?3d?3?d，即d?1
4?222??a4?a1?3d?(3?2d)?3d∴a4?3?d?3?1?4，a4的最大值是4．
易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点
的坐标．
变式与引申1：
（1）等比数列{an}的公比q?1，第17项的平方等于第24项，求使
a1?a2???an?111???? 恒成立的正整数n的取值范围． a1a2an（2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a?R)，且
1，a1
11，成等比数列． a2a4（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n?N，试比较
*11111?2?3?...?n与的大小． a2a2a2a1a2
题型二 数列、函数与不等式 例2 已知函数f(x)?x?2,x?(0,??)，数列?xn?满足xn?1?f(xn),n?N?，且x1?1． x?1（1）设an?xn?2，证明：an?1?an；
2． 2点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.
（2）设（1）中的数列?an?的前n项和为Sn，证明Sn?【解】（1）an?1?xn?1?2?xn?2x?2 ?2?(2?1)nxn?1xn?1由条件知xn?0 故an?1?(2?1)xn?2?xn?2?an （2）由（1）的过程可知
an?1?(2?1)xn?2?(2?1)2xn?1?2???(2?1)nx1?2?(2?1)n?1，
1?(2?1)易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．
变式与引申2： 已知数列{an}是首项a1?4的等比数列，其前n项和为Sn，且S3,S2,S4成
等差数列。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn?log2|an|(n?1,n?N)，设Tn为数列{求证：Tn?Sn?(2?1)?(2?1)2???(2?1)n?2?1?2. 21}的前n项和， 2n(bn?1)5. 4题型三 数列、解几与不等式
11(n?N*)．从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂?nxx?2线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn?1(xn?1,yn?1)设x1?1,an?xn?1?xn，
例3 如图，已知曲线C:y?,Cn:y?bn?yn?yn?1．
（1）求点Q1、Q2的坐标； （2）求数列{an}的通项公式；
CnyCQnQn+1（3）记数列{anbn}的前n项和为Sn，求证：Sn?1． 3
易错点：（1）Qn(xn,yn),Qn?1(xn?1,yn?1)三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结
?nx?x?2n?1n合解决问题．（2）型递推数列求通项用累加法，求Sn放缩方法不容易找到，
求和就成问题.
x变式与引申3：（2011年陕西文科卷）如图，从点P做x轴的垂线交曲线于点(0,0)y?e1Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重
复上述过程得到一系列点：P1,Q1;P2,Q2......;P,2,...,n). n,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k?1（Ⅰ）试求x1与xk?1的关系(2?k?n) （ Ⅱ）求PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn．
题型四 数列与不等式的探索问题
例4设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记
bn?4?an(n?N*). 1?an（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在. 解（1）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??1. 4an?11?? an4111n∴数列?an?是首项为a1??，公比为q??的等比数列，∴an?(?)，
4445 bn?4?n(?4)?1（2）不存在正整数k，使得Rn?4k成立.
又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1?an?1?an?5an?1,即证
明
：
1k?b2k??bk?8?∴
当
5(?2k??为
??偶
k???数
??k?4?1?设
n时，
?5k?8? 2kk??)n?2m(m?N?)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n
当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k ∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立． （
3
）
cn?b2n?b2n?1
又b1?3,b2?5525?16n25?16n25?16n25?2n?2n?1????4?14?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134∴c1?， 当n?1时，33T1?当
3， 2n?2时
，
411141?162?n425693Tn??25?(2?3???n)??25?????
3316?153240482161616
易错点：（1）在第二问中对n不加讨论，导致结论不正确；（2）找不到cn的放缩技巧，也有可能放得过大而无法证明
变式与引申4：已知数列?an?和?bn?满足a1?m,an?1??an?n,bn?an?(Ⅰ) 当m?1时,求证: 对于任意的实数?,?an?一定不是等差数列； (Ⅱ) 当???2n4?. 391时,试判断?bn?是否为等比数列. 2本节主要考查：数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能. 点评：
（1）数列与不等式作为高中数学代数五大内容的两大核心内容，其在高考试卷中处于核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求． （2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．
（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．
（4）数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不