等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．
习题3－4
1．数列{an}的通项公式an?n2?kn,若此数列满足an?an?1(n?N),则k的取值范围是 A,k??2 B,k??2 C,k??3 D,k??3 2．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q, 则q的取值范围是（ ） A．(0,?1?5?1?51?51?51?5,1] C．[1,,) ) B．() D．(222223．已知?为锐角，且tan??22?1，
函数f(x)?xtan2??x?sin(2?? ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an?1?an.
?4)，数列{an}的首项a1?1,an?1?f(an). 2x2?x?n(n?N?,y?1)的最小值为an,最大值为4．函数y?bn,且2x?11cn?4(anbn?),数列{Cn}的前n项和为Sn．
2 （Ⅰ）求数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{dn}是等差数列，且dn? （Ⅲ）若f(n)?Sn，求非零常数c； n?cdn(n?N?)，求数列{f(n)}的最大项．
(n?36)dn?15．(2011全国理科)设数列?an?满足a1?0且（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?
11??1.
1?an?11?an1?an?1n,记Sn??bk,证明：Sn?1.
k?1n【答案】
故通项公式an?na.
（Ⅱ）解：记Tn?111????,因为a2n?2na a2a22a2n
11(1?()n)11111112所以Tn?(?2???n)??2?[1?()n]
1a22aa221?2从而，当a?0时，Tn?
11；当a?0时,Tn?. a1a1
变式与引申2：
解：设数列{an}的公比为q
（1）若q?1，则S3?12,S2?8,S4?16
显然S3,S2,S4不成等差数列，与题设条件矛盾，所以q≠1
a1(1?q2)a1(1?q3)a1(1?q4)由S3,S2,S4成等差数列，得2 ??1?q1?q1?q化简得q?q?2?0,?q??2，或q?（舍去） 12
∴an?4(?2)n?1?(?2)n?1
（2）证：bn?log2|an|?log2|(?2)n?1|?n?1
当n≥2时，
1111111????[?] 232n(bn?1)nn(n?1)(n?1)n(n?1)2(n?1)nn(n?1)
Tn?1111111111???????1?[(?)]?(?)??????] 33312n21?22?32?33?4(n?1)nn(n?1)1115]?1???
n(n?1)224
=1+[?1122
变式与引申3：
?【解】（Ⅰ）设Pk?1(xk?1,0)，由y?e得Qk?1(xk?1,exxk?1)点处切线方程为
y?exk?1?exk?1(x?xk?1)
由y?0得xk?xk?1?1(2?k?n)。
（ Ⅱ）x1?0,xk?xk?1??1，得xk??(k?1)，
xkPQ?e?(k?1) kk?eSn?PQ11?PQ22?PQ33?...?PQnn
?1?e?e?...?e
变式与引申4：
【解析】（Ⅰ）当m?1时, a1?1,a2???1,a3??(??1)?2??2???2
假设?an?是等差数列,由a1?a3?2a2得????3?2(??1),??0 ， 方程无解.
2?1?2?(n?1)1?e?ne?e1?n?? 1?e?1e?1故对于任意的实数?,?an?一定不是等差数列.
112n42(n?1)4?,所以bn?1?an?1?? 时,an?1??an?n.而bn?an?22393912(n?1)41n212n41?=??an????(an??)??bn. ?(?an?n)?2392392392242又b1?m???m? .
399（Ⅱ）当???
2时, ?bn?不是等比数列. 9221当m?时, ?bn?是以m?为首项,?为公比的等比数列.
992故当m?习题3－4
1. 答案D 解析：1由an?1?an?(2n?1)?k?0,n?N*恒成立,有3?k?0,得k??3.
?a?aq?aq2?q2?q?1?0??2. 【答案】D 解析： 设三边为a,aq,aq2,则?a?aq2?aq，即?q2?q?1?0
?aq?aq2?a?q2?q?1?0???1?51?5?q??22??1?51?5? 得?q?R，即 ?q?22??q??1?5,或q??1?5?22?2tan?2(2?1)??1 又∵?为锐角 221?tan?1?(2?1)?? ∴2?? ∴sin(2??)?1 f(x)?x2?x
4412 ⑵ an?1?an?an ∵a1? ∴a2,a3,?an都大于0
22 ∴an?0 ∴an?1?an
3：解：⑴tan2??
36即n?6时取\?\n
1?f(n)的最大值为.49当且仅当n?5.解： (I) {1}是公差为1的等差数列， 1?an11??(n?1)?1?n. 1?an1?a1所以an?n?1(n?N?) n(II)bn?n1?an?1n1??nn?1?1?1 nnn?1Sn??bk?(k?11111111?)?(?)???(?)?1??1. 1223nn?1n?1