指数函数（第一课时）教学设计
贾海荣
北京师范大学附属平谷中学
一、课标要求
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
二、教学指导思想与理论依据
以新课程标准的设计理念和培养目标为指导思想，面向全体学生，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位，促进学生全面发展．本节课遵循“提出问题——分析问题——解决问题”三个层次要素，侧重学生的“思、探、究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，让学生动脑思和究，教师“诱”在点子上，在精上．整个教学过程贯穿“亲自体验，思维碰撞，达成共识”，学生的学习要达到“亲自画图感悟，观察分析、总结概括得性质”．同时借助几何画板强大的作图分析功能，及其对函数图象能进行直接操作的优越性增大学生在单位课时内接受信息的量和质，使学生学到更多的知识，并通过这种教学示范培养学生的创新意识．
三、教学背景分析 （一）教学内容分析
1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述．函数是高中数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个高中数学始终．
学生在初中就已经学习过函数，就知道了函数的描述性定义，并学习了三个具体的函数模型：一次函数、二次函数、反比例函数．用描点法得到了它们的图象分别是直线、抛物线、双曲线，但读图、识图的能力较弱，图形语言、文字语言、符号语言的转译也相当困难．
在高中学习了集合之后，我们又用集合语言刻画了函数的概念，使学生对函数的认识得以提升，认识到函数的图象不仅仅是连续的直线、抛物线，还可以是孤立的点、段开的线等等．在学习了函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性之后，学生对初中学习的三个具体函数模型的认识又多了几个视角，得到了深化和加强．
指数函数是学生高中阶段学习函数具体的模型（指、对、幂、三角）之一，也是第一个，它的作用是承上启下．所以在教学过程中，一定要让学生不仅仅学到指数函数知识本身，更要让学生体验、感悟到研究一类函数的一般方法，以便将来可以类比地研究对数函数、幂函数，从而获得较为系统的函数知识，并初步培养起函数模型应用意识，为今后的学习奠基．
2．本节课是人教A版教材“指数函数”的第一课时，教学重点是理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质．教学难点是①指数函数的概念中对底数a的规定；②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质．
（二）学生情况分析
1．已有知识：函数的概念；函数的基本性质；一次函数、二次函数、反比例函数． 2．学习能力：通过对函数概念的再认识，对一次函数、二次函数、反比例函数的再学习，对解决数学问题有了一定的能力，但需教师启发引导．
3．学习心理：高一学生认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡，由学习常量数学到学习
变量数学，思维能力的提高是一个转折期，有主动学习的愿望，但很是力不从心．
4．学习方法：学生主动探究指数函数定义、图象和性质，在对比中进行思考，在发现中得到乐趣，有利于提高学生仔细观察问题，不断探究问题的能力，培养良好的学习习惯．
（三）教学方式：启发诱思；采用问题解决的教学模式，引导学生不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题．
（四）教学手段：自己亲自设计PPT课件、现场几何画板绘图、动态演示及实物投影展示学生作品等辅助教学．
为了能使学生更好的理解和掌握本节课内容，培养学生自主学习能力，本节课课前下发了《学
?1?案》，尤其强调要用列表描点法分别画下列函数的图象：y?2x，y?3x，y?10x；y???，
?2??1??1?y???，y??? ；然后再在同一直角坐标系内分别画下列各组函数的图象： 第一组y?2x，?3??10??1??1??1?y?3x，y?10x；第二组y???，y???，y??? ；第三组：y?2x，y?3x，y?10x，
?2??3??10??1??1??1?y???，y???，y???．上课实物投影展示交流学生作品．
?2??3??10?学生虽然亲自手绘了六个、三组指数函数的图象，对指数函数的图象已经有了较丰富的感性认识，但要上升到理性认识，实现教学目标，还需借助信息技术印证，为此我让学生说出具体指数函数名称，先猜想其图象，再现场几何画板验证．之后又利用几何画板通过改变底数a的值获得更多指数函数图象，使学生感悟到由特殊到一般的思想方法，从而验证了自己“发现”的那些指数函数的性质，体验了学习成功的快乐，提升了数学能力．
四、教学目标设计 （一）知识与技能
1．了解指数函数模型的实际背景；
2．理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的单调性和图象通过的特殊点；
3．知道指数函数是一类重要的函数模型． （二）过程与方法
1．通过探讨指数函数的概念，感知数学概念的严谨性和科学性；
2．在学习指数函数过程中体验研究具体函数及其性质的过程和方法，如从特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法． （三）情感态度与价值观
1．通过学生自己画图象，观察图象，总结性质，亲身感受知识的形成过程； 2．通过指数函数的学习，发展学生的观察、分析、判断能力和理性思维能力；
3．通过几何画板的恰当使用，使学生体会到几何画板是绘制函数图象、探究函数性质的有效手段．
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（四）教学重点与难点
教学重点：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质． 教学难点：①指数函数的概念中对底数a的规定； ②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质． 五、教学过程与教学资源设计 （一）基本教学流程设计： 教师创设情 境提出问题 师生互动 构建概念 手绘指数函数图象 探究指数函数性质 几何画板验证图象和性质 课堂小结与作业 （二）教学过程及情境设计
1．复习有关知识，为提出和研究指数函数概念提供资料
（1）提出问题：前面我们学习了函数的概念、表示法和基本性质，在这个过程中我们加深了对一次函数、二次函数、反比例函数的认识，同时我们还学习了分段函数，从今天开始我们学习：指、对、幂函数和三角函数，这些是我们高中阶段要学习的四种基本初等函数．
请看我们学习指数运算时的两个引例：问题1中x年后GDP值是2000年的y倍，y与x之间的函数关系是y?1.073x(x?N*,x?20)问题2中死亡生物体内碳14含量P与死亡时间t之间的函数
?1?关系是P????2?t5730?t?0?这两个函数有什么共同特征？
师生互动：教师讲解，学生回顾．教师引导学生从函数的概念出发解释两个问题中变量之间的关系．从而体会函数三要素中的核心要素：对应法则的关键作用．
设计思想：整体把握高中数学课程．在学生已有认知的基础上学习新知——创设学习情境．通过对问题的思考与解答，使学生感受到在生产实践中共性的问题，就是我们要研究的问题，激发学生的兴趣．
（2）提出问题：你能给指数函数下个定义吗？
师生互动：教师提出问题，引导学生把解析式概括到y?f?x??ax?a?0,且a?1?的形式． 设计思想：提炼出指数函数模型．
（3）提出问题：你能说出指数函数解析式的形式特征吗？
师生互动：教师引导学生与学过的一次函数类比，使学生发现指数函数解析式的形式特征，注意提示a的取值范围．并判断下列函数是否是指数函数：
①y??2x； ②y???2?x； ③y?2?x； ④y?2x?1；⑤y?2x?x?0?； ⑥y??m?1?(m?1,m?2的常数）； ⑦y?x2； ⑧y?2x?1； ⑨y?3?2x． 设计思想：使学生巩固概念，深化认识，强化对概念形式特征的把握，感知数学概念的严谨性和科学性．同时准确把握与旧知识的连接点．
（4）提出问题：确定指数函数解析式需要几个条件？
师生互动：教师引导学生与学过的三种函数对比，用待定系数法确定指数函数表达式，只需列一个关于a方程．并就《学案》上的两个小题进行讲评．
①已知指数函数的图象经过点?2,9?，求指数函数的表达式；
x
②已知指数函数f?x??ax?a?0,a?1?的图象经过点?3,??，求f?0?,f?1?,f??3?的值． 设计思想：从科学方法和思维训练的价值看，可使学生学会运用方程思想解决问题． y 2．设置问题情境，手绘指数函数图象，把握其特征
（1）提出问题：你是怎样手绘指数函数y?2x的图象的？在列表描点前，你是否利用解析式探究或者说推测了一下它的分布状况、大致走向了？
师生互动：教师引导学生回顾如何通过函数解析式探究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，从而把握图象的分布状况及大致走向．之后再胸有成竹地列表描点手绘图象．
设计思想：给出由解析式手绘函数图象的思路．
xx?1?1xxx??1??y???，（2）提出问题：列表描点法手绘指数函数y?2，y?3，y?10，y???，y???3?2????10?x的图象，并与事先推测的分布状况、大致走向对比，看是否一致？
师生互动：首先实物投影展示交流学生的作品，教师给予鼓励性评价；之后教师在同一直角
1??1?坐标系内手绘y?2，y?3，y????，y???的图象，注意突破对于同一个自变量值两个指数
?3??2?xxxx函数图象上相应点“谁在上、谁在下”的问题．
设计思想：训练学生作图的基本功，让学生在实践中认识指数函数的图象． 3．将指数函数的图象特征翻译成指数函数的性质
（1）提出问题：你能将指数函数的图象特征翻译成相应的指数函数的性质吗？
师生互动：教师引导学生从宏观、微观上分别读出指数函数的性质，将图形语言翻译成文字语言、符号语言．强调：从特殊到一般、数形结合、分类讨论思想方法的运用．
设计思想：调动学生的思维，产生思维交锋与碰撞．培养学生的抽象概括、归纳能力，以及语言表达能力．树立团结协作意识，体会研究函数的一般方法．体现学生的主体性．
（2）提出问题：将六个指数函数的图象画在同一直角坐标系内时，你又发现了什么？ 师生互动：教师引导学生发现：底数互为倒数的两个指数函数的图象特征，以及底数不同的多个指数函数图象在同一直角坐标系内的相对位置与底数大小的关系．
设计思想：通过探究指数函数随底数的变化而变化的规律，把部分学生的思维拓展到更广阔的空间，满足个性发展的需要，进一步培养学生的问题意识．
4．几何画板验证指数函数图象和性质
（1）提出问题：很多重要定理、公式的发现都是从观察、归纳、推测开始的，但推测出的结论必须进行验证或严格的证明．怎样验证或证明我们由六个具体指数函数的图象得到的指数函数的性质是正确的呢？
师生互动：让学生说出具体指数函数名称，先猜想其图象，再现场几何画板验证．之后再利用几何画板通过改变底数a的值获得更多指数函数图象，使学生再次感悟到由特殊到一般的思想方法，从而验证了自己“发现”的那些指数函数性质的正确性，体验学习成功的快乐．同时使学生了解到信息技术是探索函数图象及性质的有效途径．
设计思想：从学生认知角度出发，有必要让他们从疑惑的情境中走出来，验证自己“发现”的那些结论的正确性，体验成功，从而获得数学能力．进一步加深对指数函数图象的认识，体会数学美．
（2）提出问题：四个指数函数y?ax,y?bx，y?cx,y?dx在同一直角坐标平面内的图象如图请从小到大排列六个数a,b,c,d,1,0．
y
O
x
师生互动：教师几何画板给出问题，学生思考后回答，再次感知指数函数中底数a对图象形状、位置的决定作用，从而提升学生对指数函数的再认识．
设计思想：熟练掌握知识．由形到数，由数到形，使学生再次体会数形结合思想、分类讨论思想．
5．系统知识结构，收获分享，深化思维训练 （1）提出问题：这节课，我们主要学习了哪些知识？
师生互动：学生回答：指数函数概念、图象和性质，教师同步PPT展示． （2）提出问题：这节课，在能力、方法上有哪些提高？
师生互动：学生回答后，教师点出：指数函数是一类重要的函数模型，进一步了解了研究函数的一般方法．注意数形结合、分类讨论等思想方法的运用． （3）提出问题：这节课，在情感、态度方面有何感想？
师生互动：学生回答后，教师点出：数学是很有用的，学习要严谨，要踏踏实实． 设计思想：使学生养成及时回顾总结、反思的良好学习习惯和行为习惯．系统知识网络，在“学习—反思—深化” 过程中提高数学修养．使学生从“模糊”的情景转化为清晰、连贯、确定和谐的情境 ．
（4）布置作业：P58的1,3；P59的7,8,9；P60的1,4．思考：P57的例8及其后的“探究”.
师生互动：学生书面完成，教师批阅，检查教学效果．通过作业的完成可以加深学生对指数函数的深入理解，使学生的认知水平和逻辑数理智力在原有的基础上得到发展．
设计思想：从学生的心理角度看，他们渴望运用自己发现的结论去解决有关问题．
六、板书设计：
指数函数 一、定义?? ?? 二、图象、性质 ?? ?? 图a?1 三、同一系内画大屏幕 0?a?1 四个指数函数