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2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
kkn?k概率是P (k)?CP(1?P)nn 球的体积公式 V?4?R3,球的表面积公式S?4?R2，其中R表示球的半径 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
?2i?1．复数??等于（ ）
?1+i?A．4i B．?4i C．2i D．?2i
x?2?0的解集是（ ） 2．不等式
x?1?1)?(?1，2] ，2] C．(??，?1)?[2，??) D．(?1，A．(??，B．[?12]
3．设M，N是两个集合，则“M?N??”是“M?N??”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
2??????4．设a,b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)?(a?xb)的图象是一条直线，则必有（ ）
????????A．a?b B．a//b C．|a|?|b| D．|a|?|b|
1)，已知?(?1.96)?0.025，则P(|?|?1.96)=5．设随机变量?服从标准正态分布N(0，（ ）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
?4x?4， x?1，6．函数f(x)??2的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是（ ）
?x?4x?3，x?1A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列四个命题中，不正确的是（ ） ．．．
A．若函数f(x)在x?x0处连续，则lim?f(x)?lim?f(x)
x→x0x→x0x?2的不连续点是x?2和x??2 2x?4C．若函数f(x)，g(x)满足lim[f(x)?g(x)]?0，则limf(x)?limg(x)
B．函数f(x)?x→?x→?x→?D．limx→1x?11? x?128．棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱
AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．2 2B．1
C．1?2 2D．2
x2y29．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．?0，?10．设集合M?{1，2，3，4，5，6}， S1，S2，?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1，2，3，?，k}），都有??aibi??ajbj??min?，??min?，?（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值
?bjaj???biai??是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
，且与直线x?y?4相切的圆的方程是 ． 11．圆心为(11)12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，???2?? 2?B．?0，?
??3?3?C．??2?，1? ??2?D．??3?，1? ??3?π，则B? ． 33]上的最小值是 ． 13．函数f(x)?12x?x3在区间[?3，114．设集合A?{(x，y)|y?|x?2|}，B?{(x，y)|y??x?b}，A?B??，
2（1）b的取值范围是 ；
（2）若(x，y)?A?B，且x?2y的最大值为9，则b的值是 ． C?15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
?? ??????????????? 图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
1π??g(x)?1?sin2x． ，?212??（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．
已知函数f(x)?cos?x?217．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记?为3人中参加过培训的人数，求?的分布列和期望．
18．（本小题满分12分）
如图2，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2//AD，且G1G2?AD．连结BG2，如图3． A E G D F G1
A G2
D F C
E B C B 图2 图3
（I）证明：平面G1AB⊥平面G1ADG2；
（II）当AB?12，BC?25，EG?8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角． 19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在
2，点P到平5面?的距离PH?0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修
a路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm
2（1?l?2）时，其造价为(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，
??的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??OA?3(km)．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． 20．（本小题满分12分） 已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于
22A，B两点．
?????????????????O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中
????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存
在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）
已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，
22n?2，3，4，且满足Sn?． ?3n2an?Sn?1，an?0，
?bn?2??（n?2）是常数数列； b?n?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增．
（I）证明：数列?
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．(x?1)2?(y?1)2?2
5π 613．?16
12．
??)（2）14．（1）[1，n9 215．2?1，32
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I）由题设知f(x)?1π[1?cos(2x?)]． 26π?kπ， 6因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x0?即2x0?kπ? π（k?Z）． 611π所以g(x0)?1?sin2x0?1?sin(kπ?)．
2261?π?13当k为偶数时，g(x0)?1?sin????1??，
2?6?441π15当k为奇数时，g(x0)?1?sin?1??．
26441?π??1?（II）h(x)?f(x)?g(x)??1?cos?2x????1?sin2x
2?6??2?
??31??π??31?31cos2x??sin2x??cos2x?sin2x? ????????2??6?2?22?2?21?π?3?sin?2x???． 2?3?2πππ5ππ?x?kπ?（k?Z）时， 当2kπ??2x??2kπ?，即kπ?23212121?π?3函数h(x)?sin?2x???是增函数，
2?3?25ππ??故函数h(x)的单调递增区间是?kπ?，kπ??（k?Z）．
1212??17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)?0.6，P(B)?0.75．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
P1?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?0.25?0.1 所以该人参加过培训的概率是P2?1?P1?1?0.1?0.9．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
P3?P(A?B)?P(A?B)?0.6?0.25?0.4?0.75?0.45 该人参加过两项培训的概率是P4?P(A?B)?0.6?0.75?0.45． 所以该人参加过培训的概率是P5?P3?P4?0.45?0.45?0.9．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数?服从二项分布
k1，2，3，即?的分布列是 B(3，0.9)，P(??k)?C3?0.9k?0.13?k，k?0，? 0 1 2 3 0.001 0.027 0. 243 0.729 P ?的期望是E??1?0.027?2?0.243?3?0.729?2.7． （或?的期望是E??3?0.9?2.7） 18．解：解法一：（Ｉ）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面G1AB，又AD?平面G1ADG2，所以
平面G1AB⊥平面G1ADG2．
（II）过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H． 由（I）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2， 所以?BG2H是BG2和平面G1ADG2所成的角． 因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面
G1 H B E G2
D
A ABCD?AB，G1E⊥AB，
G1E?平面G1AB，所以G1E⊥平面ABCD，故
． G1E⊥EF因为G1G2?AD，AD?EF，所以可在EF上取一点O，使EO?G1G2，又因为G1G2∥AD∥EO，所以四边形G1EOG2是矩形．
由题设AB?12，BC?25，EG?8，则GF?17．所以G2O?G1E?8，G2F?17，
O
F C
OF?172?82?15，G1G2?EO?10．
因为AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD，所以G1G2⊥平面G1AB，从而G1G2⊥G1B．