22222故BG2?BE2?EG12?GG12?6?8?10?200，BG2?102．
又AG1?62?82?10，由BH?AG1?G1E?AB得BH?8?1248?． 105故sin?BG2H?BH481122． ???BG2510225122． 25解法二：（I）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB， G1E⊥AB，
B⊥AD，所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD．又A所以AD⊥G1E?平面G1AB，
即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin平面G1AB．因为AD?平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2．
（II）由（I）可知，G1E⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1为， x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）由题设AB?12，BC?25，EG?8，则EB?6，
EF?25，EG1?8，相关各点的坐标分别是
z G2 G1 A(?6，0，0)，
A D(?6，25，0)，G1(0，0，0)． 0，8)，B(6，D ?????????y
所以AD?(0，0，8)． 25，0)，AG1?(6，F B E C ?O 设n?(x，y，z)是平面G1ADG2的一个法向量，
x ????????n?AD?0，?25y?0，由??????得?故可取n?(4，0，?3)． ?6x?8z?0??n?AG1?0.?过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C?G2D，所以OC?OD，于是点O在y轴上．
因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O?G1E?8．
设G2(0，m，，由17?8?(25?m)，解得m?10， 8)（0?m?25）
222?????所以BG2?(010，，8)?(6，0，0)?(?610，，8)． 设BG2和平面G1ADG2所成的角是?，则
??????BG2?n|?24?24|122． sin??????????2222225BG2?n6?10?8?4?3故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin122． 2519．解：（I）如图，PH⊥?，HB??，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，
PHPB??1．
O sin?设BD?x(km)，0?x?1.5．则 2]． PD?x2?PB2?x2?1?[1，记总造价为f1(x)万元，
A ? P
ED H
B
据题设有f1(x)?(PD?1?221111AD?AO)a?(x2?x??3)a 2241???43???x??a???3?a
4???16?11当x?，即BD?(km)时，总造价f1(x)最小．
445（II）设AE?y(km)，0?y?，总造价为f2(y)万元，根据题设有
4y?43?1?31???f2(y)??PD2?1?y2?3????y??a??y2?3??a?a．
2?162?24?????y1??则f2?y?????a，由f2?(y)?0，得y?1．
?y2?32???当y?(0，1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，1)内是减函数；
当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数． 故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为
?5??4??5??4?67a万元． 163，总2（III）解法一：不存在这样的点D?，E?．
事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?．为使总造价最小，E显然不能位于D? 与B之间．故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，0?x1?y2?2造价为S万元，则S??x1?x1y11?、（II）讨论知，?y12?3?1??a．类似于（I）
224?xy311x12?1??，y12?3?1?，当且仅当x1?，y1?1同时成立时，上述两个不等
216224167a，点D?，E?分式等号同时成立，此时BD??(km)，AE?1(km)，S取得最小值
416别与点D，E重合，所以不存在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价
??小于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
xy11??S??x12?1?y12?3?1??a
224??1?143???x1??a??3y12?3?y1?y12?3?y1?a?a
???4?4?16?143??23(y12?3?y1)(y12?3?y1)?a?a 41667?a． 161122当且仅当x1?且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?，y1?1同时成立时，S取得
4467a，以上同解法一． 最小值16
2????
20．解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ?y?y?yy?y?y?12?12?x?4y?于是AB的中点坐标为?，?．
?22?yyy?y2y2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?8x1?x2x?4?2x?82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．
y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． 将y1?y2?x?80)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
????????0)，使CA?（II）假设在x轴上存在定点C(m，CB为常数．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．
代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．
4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，
k?1k?1????????于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)
?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2
(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)???4k2?m2 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22??1k?1????k???????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1． 当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)，
????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．
????????，0)，使CA?CB为常数． 故在x轴上存在定点C(1?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有?
?y1?y2?y当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．
代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．
2222224k2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2．
k?1
?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2k?1k?1??4k2由①②③得x?4?2．???????????????????④
k?14ky?2．??????????????????????????⑤
k?1x?4当k?0时，y?0，由④⑤得，?k，将其代入⑤有
yx?44?4y(x?4)y22y??．整理得(x?6)?y?4． 222(x?4)(x?4)?y?1y20)，满足上述方程． 当k?0时，点M的坐标为(4，0)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
????????0)，使CA?（II）假设在x轴上存在定点点C(m，CB为常数，
4k24k2?2当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?2?1，x1x2?2．
kk?1以上同解法一的（II）．
22221．解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．
因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2． ??????? ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ????????② 由②－①得an?1?an?6n?3． ????????③ 于是an?2?an?1?6n?9． ????????④ 由④－③得an?2?an?6， ????????⑤
?b?bn?2ean?2所以?an?ean?2?an?e6，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．
bne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以
a3?3?2a，a4?18?2a．
而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立． ?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1)
915?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a??a?．
44?915?即所求a的取值集合是M??a?a??．
4??4bn?1?bnean?1?ean（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn? ?an?1?anan?1?an
ex(x?x0)?(ex?ex0)ex?ex0任取x0，设函数f(x)?，则f(x)? 2x?x0(x?x0)x记g(x)?ex(x?x0)?(ex?e0)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，
所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，??)上
都是增函数．
由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增，
ean?1?eanean?2?ean取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?． ?an?1?anan?2?anean?1?ean?2ean?ean?2取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1?． ?an?1?an?2an?an?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．
ex?ean?1解法二：设函数f(x)?，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，??)上都是
x?an?1增函数，
ean?ean?1ex?ean?1ean?2?ean?1ex?ean?1an?1an?1所以kn?，． ?lim?ek??lim?en?1??n→an→aan?an?1an?2?an?1n?1x?an?1x?an?1n?1故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．