第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法
从上节微积分学的基本公式知道,求定积分
?baf(x)dx的问题可以转化为求被积函数
f(x)在区间[a,b]上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积
分时仍适用,本节将具体讨论之,请读者注意其与不定积分的差异.
分布图示
★ 定积分换元积分法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 定积分的分部积分法
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例17 ★ 例18
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-4 ★ 返回
★ 例4 ★ 例8 ★ 例12 ★ 例16
内容要点
一、定积分换元积分法
定理1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,函数x??(t)满足条件： （1）?(?)?a,?(?)?b, 且a??(t)?b； （2）?(t)在[?,?](或[?,?])上具有连续导数,则有
?baf(x)dx????f[?(t)]??(t)dt. (4.1)
公式(4.1)称为定积分的换元公式.
定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：
（1）用x??(t)把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；
（2） 求出f[?(t)]??(t)的一个原函数?(t)后,不必象计算不定积分那样再把?(t)变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入?(t)然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法
bbbb?audv?[uv]ba?vdu 或
a??auv?dx?[uv]ba?vu?dx.
a?例题选讲
定积分换元积分法
?例1(E01) 计算
?20cos5xsinxdx.
解 令t?cosx,则dt??sinxdx,x???2?t?0,x?0?t?1,
??t6552cosxsinxdx??tdt?tdt?01065??0?1101?. 6注: 本例中，如果不明显写出新变量t,则定积分的上、下限就不要变，重新计算如下:
??
20cos5xsinxdx???20cos5xd(cosx)??1?1cosx2????0???.
6?660?6例2(E02) 求定积分
?a0a2?x2dx(a?0).
解 令x?asint,则dx?acostdt
a2?x2?a1?sin2t?a|cost|?acost,
由换元积分公式得
x 0 0 a t ?2 ?a??0a2?x2dx?a2??20cos2tdt?a2?201?cos2tadt?222???20(1?cos2t)dt?a?1?2?t?sin2t? 2?2?02.
4注: 在第一节的课堂练习中，我们曾利用定积分的几何意义解本题并得到相同的结果.
?a2例3 求定积分
3??0sin3x?sin5xdx.
53|cosx|(sinx)2解 ?sinx?sinx?
??
???0sinx?sinxdx?35??0|cos3x|(sinx)2dx??203cosx(sinx)2dx????3cosx(sinx)2dx
2?33?2(sinx)2dsinx?2?(sinx)dsinx02????5522(sinx)20?552(sinx)2??24?. 5
例4 (E03) 求定积分
?4x?22x?10dx.
t2?1,dx?tdt,当x?0时，t?1,当x?4时，t?3,从而 解 令t?2x?1,则x?2?40t2?1?23x?212dx?tdt?1t22x?1??1??271?1??1??22?(t?3)dt??t3?3t?????9????3???. 12?33??3???12??3323
例5 (E04) 当f(x)在[?a,a]上连续, 则
?(2) 当f(x)为奇函数,有 ?(1) 当f(x)为偶函数,有 证
a?aaf(x)dx?2f(x)dx;
0?a?af(x)dx?0.
?a?af(x)dx??0?af(x)dx?a?f(x)dx,在上式右端第一项中令x??t,则
0a0a?0?af(x)dx???0af(?t)dt??f(?t)dt??f(?x)dx,
0(1)当f(x)为偶函数，即f(?x)?f(x),?a?af(x)dx?a?0?af(x)dx?0?a0f(x)dx?2f(x)dx;
0?a(2)当f(x)为奇函数，即f(?x)??f(x),
例6 (E05) 计算
1??af(x)dx???af(x)dx??a0f(x)dx?0.
??1(|x|?sinx)x2dx.
解 因为积分区间对称于原点，且|x|x2为偶函数,sinx?x2为奇函数，所以
?x4322(|x|?sinx)xdx?|x|xdx?2xdx?2?0?1?141?1?1101?. 2
12x2?xcosx例7 计算dx.
?11?1?x2?解 原式??12x21?1?x2?1dx??1xcosx1?1?x2?1dx
偶函数 奇函数
?4?1?01x21?x2dx?4?1x2(1?011?x2)2dx?4(1?1?x)dx?4?401?(1?x2)??101?x2dx?4??.
单位圆的面积
例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
??f(cosx)dx; ??xsinx??(2) ?xf(sinx)dx??f(sinx)dx, 由此计算 ?dx.
21?cosx(1)
0?/2f(sinx)dx??/200002证 (1) 设x??0?2?t?dx??dt,x?0?t???2,x???2?t?0,
?20f(sinx)dx????2?????f?sin??t??dt???2???20f(cost)dt??20f(cosx)dx;
(2) 设x???t?dx??dt,x?0?t??,x???t?0,
??0xf(sinx)dx??(??t)f[sin(??t)]dt?(??t)f(sint)dt,
0??0?????f(sint)dt??tf(sint)dt???f(sinx)dx??xf(sinx)dx,
0000?????xf(sinx)dx?0???2?f(sinx)dx.
0???0xsinx?dx?21?cos2x?????0sinx?dx??21?cos2x???01d(cosx)
1?cos2x2?arctan(cosx)?0?????. ?????2?44?4???2
定积分的分部积分法
例9 (E06) 求定积分 解
3?1lnxdx
33133lnxdx?xlnx?xd(lnx)?(3ln3?0)?xdx?3ln3??11??1x?1dx 13 ?3ln3?x1?3ln3?(3?1)?3ln3?2.
例10 (E07) 求定积分 解
?0xe1?xdx
111000?10xe?xdx???xd(e?x)??(xe?x??e?xdx)??[(e?1?0)??e?xd(?x)]
0?11 ??(e
?e?x)??[e?1?(e?1?1)]?1?2e?1.
01例11(E08) 计算arcsinxdx.
0?1/2解 令u?arcsinx,dv?dx,则du?dx1?x2,v?x,
?012arcsinxdx12?[xarcsinx]0??12xdx1?x201?1???262?1211?x20d(1?x)?2?12?[1?122x]0
??12?3?1. 2
例12 (E09) 计算定积分
??/40xdx.
1?cos2x2解 ?1?co2sx?2cosx,
xdx??401?cos2x????40xdx?22cosx??40x14?1d(tanx)?[xtanx]0222??14tanxdx?4 ?[lnsecx]0082???? 例13 求
?/2?8?ln2. 4?0x2sinxdx
解 由分部积分公式得
???????20xsinxdx?2?20xd(?cosx)?x(?cosx)2220??20cosxd(x)?22?20xcosxdx
再用一次分部积分公式得
??2?xd(sinx)?xsinx0??20xcosxdx???20?20sinxdx??2??cosx20??2?1
?从而
?20x2sinxdx?2?20xcosxdx???2.
1
例14 (E09) 计算
?1/2e?2x?1dx.
解 令t?2x?1,则tdt?dx,当x?于是有
1时, t?0;当x?1时, t?1; 2?11/2e?2x?1dx??10te?tdt
再使用分部积分法，令u?t,dv?e?tdt,则du?dt,v??e?t.
12从而tedt??te?edt???(e?t)?1?.
000ee0?1?t?t1?11?t
例15 已知f(x)满足方程
f(x)?3x?1?x2求f(x).
解 设
?10f2(x)dx,
?10f2(x)dx?C,则f(x)?3x?C1?x2.有
?10(3x?C1?x2)2dx?C,
23积分得3?C2?2C?C?C?3,或C?,
323所以f(x)?3x?31?x2,或f(x)?3x?1?x2.
2
例16 (E10) 导出In????/20sinnxdx(n为非负整数)的递推公式.
?解 易见I0???20dx??2,I1??20sinxdx?1,当n?2时
?20?(n?1)?In??20sinxdx???n?20sinn?1xdcosx??sin??n?1xcosx???20sinn?2xcos2xdx
??(n?1)?20sinn?2x(1?sinx)dx?(n?1)2?20sinn?2xdx?(n?1)?20sinnxdx?(n?1)In?2?(n?1)In
从而得到递推公式In?n?1In?2. n反复用此公式直到下标为 0 或 1，得
531??2m?12m?3??????,n?2m?2m2m?26422 In??2m2m?2642??????,n?2m?1753?2m?12m?1其中m为自然数.
??注: 根据例8的结果，有
例17 利用上题结论计算
??20sinxdx?n?20cosnxdx.
?0cos5?2dx.
5xx
解 令?t,则dx?2dt于是
2
???0cos2dx?2?204216cos5tdt?2???. 5315x 0 0 ? ?2 t x例18 求函数I(x)??t(1?2lnt)dt在[1,e]上的最大值与最小值.
1解 I?(x)?x(1?2lnx),令I?(x)?0,得驻点x?0,x?e?1/2?6.03.且I?(x)在[1,e]是恒大于0,故I(x)在[1,e]上单调增加.
当x?1时, I(x)取最小值，最小值为I(1)?0; 当x?e时, I(x)取最大值，最大值为I(e).
eee?121212?I(e)?t(1?2lnt)dt?(t?2tlnt)dt?t?2?tlnt?t??e2
112141??1?2??e?e即最大值I(e)?e2,最小值I(1)?0.
课堂练习
1. 计算定积分
?|sin?|d?.
??/2(1?2rcos??r2)2?/22. 设f??(x)在[0, 1]上连续, 且f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求
?xf??(2x)dx.
01