反复用此公式直到下标为 0 或 1，得
531??2m?12m?3??????,n?2m?2m2m?26422 In??2m2m?2642??????,n?2m?1753?2m?12m?1其中m为自然数.
??注: 根据例8的结果，有
例17 利用上题结论计算
??20sinxdx?n?20cosnxdx.
?0cos5?2dx.
5xx
解 令?t,则dx?2dt于是
2
???0cos2dx?2?204216cos5tdt?2???. 5315x 0 0 ? ?2 t x例18 求函数I(x)??t(1?2lnt)dt在[1,e]上的最大值与最小值.
1解 I?(x)?x(1?2lnx),令I?(x)?0,得驻点x?0,x?e?1/2?6.03.且I?(x)在[1,e]是恒大于0,故I(x)在[1,e]上单调增加.
当x?1时, I(x)取最小值，最小值为I(1)?0; 当x?e时, I(x)取最大值，最大值为I(e).
eee?121212?I(e)?t(1?2lnt)dt?(t?2tlnt)dt?t?2?tlnt?t??e2
112141??1?2??e?e即最大值I(e)?e2,最小值I(1)?0.
课堂练习
1. 计算定积分
?|sin?|d?.
??/2(1?2rcos??r2)2?/22. 设f??(x)在[0, 1]上连续, 且f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求
?xf??(2x)dx.
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