高三数学周练
一、选择题（每小题4分，共32分） 1．函数y＝2x－x2的图象大致是（ ）
x?22．设函数y＝x3与y???1??2??的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
3．设函数f(x)???21?x,x?1，则满足f(x)?2的x?1?log2x,x?1的取值范围是（ ）
A．[?1，2]
B．[0，2]
C．[1，+?]
D．[0，+?]
4．函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，则（ ） A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）＝f（x＋2） D．f（x＋3）是奇函数 5．定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x)．当?3?x??1时，f(x)??(x?2)2，当?1?x?3时，f(x)?x．则f(1)?f(2)?f(3)????f(2012)?（ ） A． 335
B．338
C．1678 D．2012
6．若存在负实数使得方程 2x?a?1x?1成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2,??) B．(0,??) C．(0,2) D．(0,1) 7．设函数f（x）(x?R)满足f（?x）=f（x），f（x）=f（2?x），且当x?[0,1]时，
f（x）= x3
．又函数g（x）=|xcos(?x)|，则函数h （x）=g（x）－f（x）在[?132,2]
上的零点个数为（ ） A．5 B．6
C．7
D．8
8．设函数f(x)?1x,g(x)?ax2?bx(a,b?R,a?0)，若y?f(x)的图象与y?g(x)图象 有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2)，则下列判断正确的是（ ） A．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 B．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 C．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 D．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0
二、填空题
9．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝________．
10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
11．已知函数f（x）满足：f（1）＝1
4
，4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），
则f（2 013）＝________． ?12．已知函数f（x）= ??x2?2x?x?0??0?x?0? 是奇函数． 若函数f（x）在区间 [－1，a－2]上单调
??x2?mx?x?0递增，则实数a的取值范围是__________．
13．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），
已知当x∈[0，1]时f（x）＝?1?2??1－x
，则
①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）＝?1?2??x－3
．
其中所有正确命题的序号是________．
选择题答题栏
（8×4分=32分） 1 2 3 4 5 6 7 8
填空题答题栏（5×4分=20分）
9． 10． 11． 12． 13．
三、解答题（4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先
后抽得两张卡片，标号分别记为x,y，设随机变量??x?2?y?x．
（1）求事件“?取得最大值”的概率； （2）求?的分布列和数学期望与方差．
15．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值．
DC
AxEFxB
16．设椭圆x2y2a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为?12，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>3．
17．已知函数f(x)?ex?ax2?ex(a?R)．
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间; （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y?f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的
切线与曲线只有一个公共点P．
高三数学周练答案
一、选择题 ABDD BCBB 二、填空题
9． －1 10．－1≤b≤1 11． －1
2 12．（1，3] 13． ①②④
三、解答题
14．解：（1）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n?3?3?9，
∴P(??3)?29 …………4分 （2）?的所有取值为0，1，2，3，
当??0时，只有x?2,y?2这1种情况， ∴P(??0)?19； 当??1时，只有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3， 共4种情况，∴P(??1)?49； 当??2时，只有x?1,y?2或x?3,y?2这2种情况， ∴P(??2)?29； 当??3时，P(??3)?29； ………9分 ∴ 随机变量?的分布列为：
? 0 1 2 3 P 1 29 49 299
∴ 数学期望E??0?19?1?242149?2?9?3?9?9 方差D??19(0?149)2?29(1?1424142214289)?9(2?9)?9(3?9)?9………12分
15．（1）根据题意有
S?602?4x2?(60?2x)2?240x?8x2??8(x?15)2?1800（0 当0?x?20,时，V??0,V递增;当20?x?30时，V?<0,V递减， 所以，当x=20时，V取极大值也是最大值． 2此时，包装盒的高与底面边长的比值为2（60－2x）1x?． 22即x=20包装盒容积V（cm3）最大 此时包装盒的高与底面边长的比值为 12 16．解：设点P(x0,y0)，由题意得 x220a2?y0b2?1???① 由A(?a,0),B(a,0)得ky0AP?x?a,ky0BP? 0x0?a由k1AP?kBP??2可得x2?a2?2y200代入①并整理得 (a2?2b2)y20?0，由于y0?0， a2?2b2，于是e2?a2?b2故a2?12 所以椭圆的离心率为e?22 ?y0?kx0?2证明：依题意直线OP的方程y?kx，设点P(x0,y0)，有条件得?x2 y00?2?2?1b?aa2b2??② 消去y0并整理得x?22ka?b220 2由AP?OA,A(?a,0)及y0?kx0得(x0?a)2?k2x0?a2整理得 2(1?k2)2x0?2ax0?0而x0?0，于是x0??2a，代入②整理得 1?k2b22（1?k2）?4k2()2?4，由a?b?0，故（1?k2）?4k2?4 a即k?3，所以k?23． 17．解：（1）?f?(x)?ex?2ax?e，k?f?(1)?2a?0?a?0，故f?(x)?ex?e ?x?1时，f?(x)?0，x?1时，f?(x)?0， 所以函数f(x)的增区间为(1,??)，减区间为(??,1) （2）设切点P(x0,y0)，则切线y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令g(x)?f(x)?f?(x0)(x?x0)?f(x0)，因为只有一个切点， 所以函数g(x)就只有一个零点， 因为g(x0)?0 g?(x)?f?(x)?f?(x0)?ex?e0?2a(x?x0)， 若a?0,?g?(x)?0 xg(x)?g(x0)?0，因此有唯一零点， 由P的任意性知a?0不合题意 若a?0，令h(x)?e?e0?2a(x?x0)，则h(x0)?0 xxh?(x)?ex?2a，存在一个零点P(ln(?2a),f(ln?2a))， 使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点．故a的取值范围为a?0．