临武一中2013年上期期中考试数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，检测时间120分钟.
第I卷（选择题，共50分）
一.选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列现象是不可能现象的是（ ）
A.导电通电时发热 B.不共线的三点确定一个平面 C.没有水分种子发芽 D.某人买彩票连续两周都中奖 2．y?cosx?sinx是（ ） A．奇函数
C．既是奇函数也是偶函数
B．偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定
4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据 一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为?y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ） ．．．A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x,y)
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 5．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率是（ ） A．P(A)?mnmn，当n很大时，那么P(A)与
mn的关系
B.P(A)?mn C．P(A)?mn D．P(A)?mn
6．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ） A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 3,6,12,24,48 D. 8,16,24,32,40 7．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( ) A.
12 B.
13 C.
23 D.1
8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x?
A、C、
B、D、
?3对称的是（ ）
9．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a，b］是其中的一组，抽查出的个体 在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a?b|?（ ）
mhA． B．hm C． D．h?m
hm?x110．在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为( ).
22A.
13 B.
2? C.
12 D.
23
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二 填空题（共5道小题，每题5分，共25分. 把答案填在题中横线上.） 11．常用的抽样方法有： ； 12．y?3sin?3x???????1的最小值是_____________．
4?13．若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 。
14．设函数f(x)?x2?2ax?b2?4，若a是从－2、－1、0、1、2五个数中任取的一个数，
b是从0、1、2三个数中任取的一个数，则函数f(x)无零点的概率是 。
15．设函数f(x)?3sin(2x?①图象C关于直线x?1112?3)的图象为C，给出下列命题：
?,5?)内是增函数；
?对称； ②函数f(x)在区间(?1212[来源学科网ZX|XK]
③函数f(x)是奇函数； ④图象C关于点(?3,0)对称.
其中，正确命题的编号是 .（写出所有正确命题的编号）
三.解答题（共6道小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收
集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 顾客数（人） 结算时间（分钟/1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 y 2.5 17件及以上 10 3 人） 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过。 ．．．2分钟的概率（将频率视为概率）
sin(5?2?x)17．（本题满分12分）已知f(x)?cos(x??2?sin(x??)?cos(??x). )（Ⅰ）当tan(??x)??2时，求f(x)的值；
（Ⅱ）指出f(x)的最大值与最小值，并分别写出使f(x)取得最大值、最小值的自变量 x的集合.
18．（本题满分12分）随机抽取某中学甲、乙两班各 10名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数 据的茎叶图为如右图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （2）计算甲班的样本方差；
19．（本题满分13分）已知?是第二象限角，且sin(???)?（1）求角?的正弦值、余弦值和正切值；
（2）在图中作出角?的三角函数线，并用有向线段表示sin?，cos?和tan?。
k?1k?1sin(，
5?2??)?3k?1k?18 8 3
2 8
16 15
2 5 9
8
甲班
2
9 9 1
0
18 17
1
0 3 6 8 9 乙班
。
20．（本题满分13分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列（如果一个数列从第2个数起，每一个数与前一个数的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列）,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如右图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人．
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率； (3) 求平均成绩。
21．（本题满分14分）设关于x的函数y?2cos2x?2acosx?(2a?1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)?
12的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
答案
一、CADC ABCD AA
二、11．简单随机抽样、分层抽样、系统抽样； 12．?2； 13．16 cm2 14．
25；
15．①②。
三、16． 【解析】（Ⅰ）由已知得面 25?y?10?55,x?y?35,?x?15,y?20； （Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得
P(A1)?15100?320,P(A2)?30100?310,P(A3)?25100?14.
?A?A1?A2?A3,且A1,A2,A3是互斥事件， ?P(A)?P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?320?310?14?710.
17．解： （Ⅰ）
sin(f(x)?5?2?x)cosxsinxcos(x??2?sin(x??)?cos(??x)?)?(?sinx)?(?cosx)?cosx
22由tan(??x)??2，得tanx??2，所以f(x)?cosx?11?tanx2?15 .
（Ⅱ）因为f(x)?cos2x，所以f(x)的最大值为1，最小值为0. 当f(x)?1时，cosx??1，此时x?k?,k?Z.
所以使f(x)取得最大值的自变量x的集合为?x|x?k?,k?Z?. 当f(x)?0时，cosx?0，此时x?k???2,k?Z.
所以使f(x)取得最小值的自变量x的集合为?x|x?k??????,k?Z?. 2?18【解】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身160?17917:01之间．因此乙班平均身高高于甲班; (2) x?158?162?163?168?168?170?171?179?179?1821011022高集中于
?170
22甲班的样本方差为
2[(158?170)??162?170???163?170???168?170???168?170?
??170?17?0??19．解：（1）∵∴
，
217?10?17??21?7?9270?1???179??170??22 70182．? 1，
]57，
，由sin2α+cos2α=1可得：k=1或
，k=1（舍去）， ，
．
；
又α是第二象限角，∴∴
，
（2）设单位圆与x轴正半轴交于A（1，0），α的终边与单位圆交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为M， 则sinα=MP，cosα=OM，
过A（1，0）作圆的切线与α的终边的反向延长线相交于点T，tanα=AT．
20．由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
50.05?100人．
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d,由4?22?6d?100,解得d?2． ∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． (2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为
0．35+0．25+0．1+0．05=0．75．
(3)75?0.05?85?0.20?95?0.35?105?0.25?115?0.10?125?0.05?98 平均成绩为98分。
21．解：令cosx=t，t∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2at﹣（2a+1），对称轴当当得当
，即a＜﹣2时，[﹣1，1]是函数y的递增区间，，即a＞2时，[﹣1，1]是函数y的递减区间，，与a＞2矛盾；
，即﹣2≤a≤2时，
2
， ； ，
得a=﹣1，或a=﹣3， ∴a=﹣1，
此时ymax=﹣4a+1=5．