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《新课标》高三数学（人教版）复习单元讲座
第十三讲 直线、圆的方程
一．课标要求：
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；
2．圆与方程
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．命题走向
直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
本讲的考察是：
（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向； （2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。
三．要点精讲
1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为?0,??。 2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=an?;当直线的倾斜角等于900
时，直线的斜率不存在。
过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan??y2?y1（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，
x2?x1此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0，y0)——直线上 已知点，k——斜率 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 y?y1x?x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上与两坐标轴平行的直线= 不能用此式 y2?y1x2?x1两个已知点 xy+=1 abAx+By+C=0 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 一般式 ?ACC，?，?分别为 BAB斜率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程
222圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x?a)?(y?b)?r(r?0)。特殊地，当a?b?0时，圆
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心在原点的圆的方程为：x2?y2?r2。
圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?DE,?)， 22半径r?D2?E2?4F22，其中D?E?4F?0。
22二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，表示圆的方程的充要条件是：①、x项y2项的系数相
22同且不为0，即A?C?0；②、没有xy项，即B=0；③、D?E?4AF?0。
四．典例解析
题型1：直线的倾斜角
例1．（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D。
点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。 y 例2．过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求 B 图 PA2|PB|的值最小时直线l的方程。
解析：依题意作图，设∠BAO＝?，
θ P（2，1） θ O A x 12，PB?， sin?cos?244?2? ?PA2PB?，
sin?cos?sin?cos?sin2? 则PA? 当sin2??1，即??45?时PA2|PB|的值最小，此时直线l的倾斜角为135°， ∴斜率kl?tan135???1。
故直线l的方程为y?1???1?2?x?2?，即x?y?3?0。
点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，
还要用到一些技巧。 题型2：斜率公式及应用
?x?y?2?0y?例3．（1）（05年江西高考）设实数x，y满足?x?2y?4?0，则的最大值
x?2y?3?0?是___________。
（2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。 （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。
解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而
yy?0?xx?0Wisdom&Love 第 2 页 （共 10 页） 2013年3月24日星期日
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表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为?1，??3y3?k?，此时，所以的?OA?2x2最大值是
3。 2yy?k，则y?kx，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。 xx 点评：本题还可以设
（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）. 因为A、B在过点O的直线上，所以
log8x1log8x2， ?x1x2又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝
log8x1log8x2＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，
log82log82所以OC的斜率和OD的斜率分别为
kOClog2x13log8x1log2x23log8x2。 ??,kOD??x1x1x2x2由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。
由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 将其代入
log8x1log8x2，得x13log8x1＝3x1log8x1. ?x1x2由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝3，于是点A的坐标为（3，log83）.
点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析
问题的能力。
1?cos2x?8sin2x例4．（05年全国高考）当0?x?时，函数f(x)?的最小值是（ ）
2sin2x?A．2 B．23 C．4
解析：原式化简为y? D．43
5?3cos2x，则y看作点A（0，5）与点B??sin2x，3cos2x?的连线的斜率。
0???sin2x?
因为点B的轨迹是??X??sin2x????0?x??
2??Y?3cos2x?
Y2?1??1?X?0，?3?Y?3? 即X?92 过A作直线Y?kX?5，代入上式，由相切（△＝0）可求出k?4，由图象知k的最小值是4，故选C。 点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。 题型3：直线方程
例5．已知直线的点斜式方程为y?1??3?x?2?，求该直线另外三种特殊形式的方程。 4Wisdom&Love 第 3 页 （共 10 页） 2013年3月24日星期日
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335 解析：（1）将y?1???x?2?移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y??x?。
44253 （2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程y?1???x?2?，故它们为直线上的两点。
24y?1x?2y?1x?2 由两点式方程得： 即 ??530?2?2?122355 （3）由y??x?知：直线在y轴上的截距b?
42210xy 又令y?0，得x? 故直线的截距式方程??1
105332点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。
例6．直线l经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程。
xy??1， ab?5?4??1，即4a?5b??ab。 ∵直线l过点P（-5，-4），?ab1 又由已知有ab?5，即ab?10，
2 解析：设所求直线l的方程为
5??4a?5b??ab?a?5?a?? 解方程组?，得：? 2或??b??2?ab?10??b?4xyxy?1。 ??1，或?545?2?2 即8x?5y?20?0，或2x?5y?10?0
点评：要求l的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：
故所求直线l的方程为：
（1）从点的坐标a，0或0，b中直接观察出来；
（2）由斜截式或截距式方程确定截距；
（3）在其他形式的直线方程中，令x?0得y轴上的截距b；令y?0得出x轴上的截距a。
总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 题型3：直线方程综合问题
例5．（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 答案：B 解析一：由y=10－
????22x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.33然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，
x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。
解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16311=176.因此所求△AOB内部和
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边上的整点共有
176?6=91（个） 2点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。
例6．（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。 （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－
3的直线与曲线M相交于A、B两点。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。
（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x. 解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|=
(x?1)2?y2。化简得：y2=4x。
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－
3（x－1）.
??y??3(x?1),由?消y得3x2－10x+3=0，
2??y?4x.1解得x1=，x2=3。
3所以A点坐标为（
图 123），B点坐标为（3，－23）， ,33|AB|=x1+x2+2=
16。 3假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
162?22(3?1)?(y?23)?(),① ?3? ?1216?(?1)2?(y?)2?()2.② ?33?3由①－②得42+（y+2
3）2=（
42143232
）+（y－）， 解得y=－。 393但y=－
143不符合①， 9所以由①，②组成的方程组无解。
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。
?y??3(x?1),（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由?得y=23，
?x??1.即当点C的坐标为（－1，2
3）时，A、B、C三点共线，故y≠23。
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