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又|AC|2=（－1－
122322843y2）+（y－）=+y， ?3393|BC|2=（3+1）2+（y+2
2
3）2=28+43y+y2，
162256|AB|=（）=。
39|AB|2?|AC|2?|BC|2当∠CAB为钝角时，cosA=<0。
2|AB|?|AC|即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即28?43y?y2?2843256， ?y?y2?939即y>
23时，∠CAB为钝角。 9当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即
2843256， ?y?y2?28?43y?y2?939即y<－
10
3时，∠CBA为钝角。 3
又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即
2562843y???y2?28?43y?y2， 993即y2?44223y??0,(y?)?0。 333该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角。
因此，当△ABC为钝角三角形时， 点C的纵坐标y的取值范围是y??10323或y?(y?23)。 3952283）2=（）2。 ）+（y+333解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－
圆心（
528,?3）到直线l：x=－1的距离为， 333所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－
23）。 3当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角。
过点A且与AB垂直的直线方程为y?2331?(x?)。 333Wisdom&Love 第 6 页 （共 10 页） 2013年3月24日星期日
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令x=－1得y=
233。过点B且与AB垂直的直线方程为y+23?（x－3）。
39?y??3(x?1),10
令x=－1得y=－解得y=23， 3。 又由?3?x??1.所以，当点C的坐标为（－1，2
3）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。 10323或y>（y≠23）。 39因此，当△ABC为钝角三角形时， 点C的纵坐标y的取值范围是y<－
点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题
目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型4：圆的方程
例7．（1）已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程。 分析：如果设圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。
解法一：设所求圆的方程是(x?a)2?(y?b)2?r2 因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是
①
?(4?a)2?(1?b)2?r2,?a?1,??222(6?a)?(?3?b)?r, 可解得?b??3, ??r2?25.?(?3?a)2?(0?b)2?r2.??所以△ABC的外接圆的方程是(x?1)2?(y?3)2?25。
解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的
垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。
?3?10?(?3)133??2，kBC???，线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为(,?)， 6?4?3?63221∴AB的垂直平分线方程为y?1?(x?5)， ①
2y33ABC的垂直平分线方程y??3(x?) ② CO22∵kAB??x?1,解由①②联立的方程组可得?
?y??3.∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3）， 半径r?|AE|?xEB
图4－1
(4?1)2?(1?3)2?5。
22故△ABC外接圆的方程是(x?1)?(y?3)?25．
点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。
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（2）求过A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程．现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可以比较一下哪种方法简捷。
解析：设圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0
①
因为三点A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：
?42?12?4D?E?F?0?D??2??22 ?6?(?3)?6D?3E?F?0，解得?E?6。
?F??15?(?3)2?02?3D?0?E?F?0??所以，圆的方程是x2?y2?2x?6y?15?0。 圆心是坐标（1，－3），半径为r?1D2?E2?4F?5。 2点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。
例8．若方程x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?9?0。 （1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当m在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。
解析：（1）由x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?9?0， ?[x?(m?3)]2?[y?(1?4m2)]2?1?6m?7m2， ?当且仅当1?6m?7m?0时， 即?m|?2??1??m?1?时，给定的方程表示一个圆。 7??x?m?3 （2）设圆心坐标为(x，y)，则?2y?4m?1?(?21。 ?m?1)（m为参数）
7(20?x?4)为所求圆心轨迹方程。 72消去参数m?y?4(3?x)?1，?y?4(x?3)?1DE点评：圆的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?,?)，半径r?2222D2?E2?4F，其中
2D2?E2?4F?0。
题型5：圆的综合问题
例9．如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（a?b?0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。
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解析：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有 sinACB?a?b。 2R 其中R是△ABC的外接圆的半径。 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。
由切割线定理，得：OC?OA2OB?ab 所以 OC?2ab，即点C的坐标为
?ab，0时，∠ACB取得最大
?值。
点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。
例10．已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。
（1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
（2）求
d1d2+的最大值，并求取得最大值的θ值。 d2d12x0?(y0?p)2，⊙O′的方程为
解析：设O′(x0，y0)，则x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半径|O′A|=
(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2－2x0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN
– xM|=2p为定值。
（2）∵M(x0-p，0) ，N(x0+p，0)
∴d1=
4p2?(x0?p)2，d2=p2?(x0?p)2，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=4p4?x0，
22222(2p2?x0)d2d1d2?d124p?2x0∴+===2 44444p?xd1d2d1d24p?x0024p2x024p2x0=21?4p?x440≤21?2?2px220=22。
当且仅当x02=2p2，即x=±2p，y0=p时等号成立，∴
d1d2+的最大值为22。 d2d11∠MO′N=45°。 2此时|O′B|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又O′M=O′N， ∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=
点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。
五．思维总结
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抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。
本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。
在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：
（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；
（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；
（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；
（4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终。
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