第45讲 合情推理与演绎推理
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．
3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．
知识梳理 1．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理．归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理．
(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ； ②小前提—— 所研究的特殊情况 ；
③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 . 热身练习
1．(2015·陕西卷)观察下列等式：
111－＝， 22
111111－＋－＝＋， 23434
111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456……
11111111
据此规律，第n个等式为 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ .
2342n2n－12nn＋1n＋2
等式左边是一个和式，先观察其通项：
11－， 2n－12n11111
前n项和为1－＋－＋…＋－；
2342n－12n
1
右边的每个式子的第一项为，
n＋1
111
共有n项，故为＋＋…＋. n＋1n＋2n＋n
11111111
所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 2342n2n－12nn＋1n＋2等式的左边的通项为
2．用类比的方法填写下表中的空白： 等差数列{an}中 a3＝a2＋d a3＋a4＝a2＋a5 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3
类比得：b1·b2·b3·b4·b5＝b53.
S△PA′B′PA′·PB′VP－A′B′C′
＝，则由图(2)有体积关系：＝
PA·PBS△PABVP－ABC
等比数列{bn}中 b3＝b2·q b3·b4＝b2·b5 b1·b2·b3·b4·b5＝b53 3．如图(1)有面积关系：PA′·PB′·PC′
.
PA·PB·PC
平面上的面积可类比到空间上的体积．
1
S△PA′B′·h′VP－A′B′C′3·PA′·PB′·PC′＝＝.
1PA·PB·PCVP－ABC
·S·h3△PAB
4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)
A．不是三段论推理，且结论不正确 B．不是三段论推理，但结论正确 C．是三段论推理，但小前提错误 D．是三段论推理，但大前提错误
5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．
归纳推理
(2018·陕西咸阳模拟)观察下列等式： 1×2<2， 91×2＋2×3<，
21×2＋2×3＋3×4<8，
25
1×2＋2×3＋3×4＋4×5<，
2……
根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是 .
观察不等式，可得： 422?1＋1?
1×2<2＝＝＝，
222932?2＋1?
1×2＋2×3<＝＝，
222
1642?3＋1?
1×2＋2×3＋3×4<8＝＝＝，
222
2
2552?4＋1?
1×2＋2×3＋3×4＋4×5<＝＝，
222
2
2
2
由此可得第n个不等式是：
?n＋1?2
n?n＋1?<. 2
?n＋1?2
n?n＋1?< 2
1×2＋2×3＋…＋
1×2＋2×3＋…＋ (1)归纳推理是由个别到一般的推理，需要仔细观察特例的结构特征，从中发现
一般规律．为了发现规律，有时对特殊情况要进行适当变形．
(2)归纳推理的一般步骤是：①对相关资料进行观察、分析、归纳整理；②推出带有规律性的结论(猜想)；③检验猜想．
1．(2016·山东卷)观察下列等式： π－2π－4
(sin)2＋(sin)2＝×1×2； 333π－2π－3π－4π－(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋(sin)2 55554
＝×2×3； 3
π－2π－3π－6π－4
(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋…＋(sin)2＝×3×4； 77773π－2π－3π－8π－4
(sin)2＋(sin)2＋(sin)2＋…＋(sin)2＝×4×5； 99993…… 照此规律， (sin
π－22π－23π－22nπ－24
)＋(sin)＋(sin)＋…＋(sin)＝ n(n＋1) .
32n＋12n＋12n＋12n＋1
44
通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等
33
4
式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一344
个自然数，所以所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
33
类比推理
(2018·陕西西安月考)已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC
1
＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD四个面的面积分别为S1，S2，S3，2S4，内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝_______________________.
1
类比面积公式S△ABC＝r(a＋b＋c)的推导方法，以四面体内切球球心向四个顶点引
2
直线将四面体分成四个三棱锥，它们分别以四个面为底面，内切球半径R为高，
1
所以VA－BCD＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．
3
1
R(S1＋S2＋S3＋S4) 3
(1)类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比．