www.zgxzw.com 中国校长网 由tan??2得sin2??2sin?cos?2tan?4??， 222sin??cos?1?tan?5cos2??sin2?1?tan2?3cos2?????， 222sin??cos?1?tan?5所以f(?)?3. 5（2）由（1）得f(x)?112?1(sin2x?cos2x)??sin(2x?)? 22242?5?5??2,]得2x??[,]，所以sin(2x?)?[?,1] 1224124422?11?2从而f(x)?sin(2x?)??[0,].
2422由x?[??
20．（本小题满分12分）
如图，?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，
AMBDAB?23. （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.
【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
CEOMO1??，EO?OB?3，OB=MO=3，MO∥AB，则
EBAB2?所以EB?23?AB，故?AEB?45.
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为?.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
F _
A _
M _
B _
O _
C _
E _ D _
H _
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www.zgxzw.com 中国校长网 BF?BC?sin60??3，
AB25?2，sin?? BF525所以，所求二面角的正弦值是. 5tan??解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为?.
AzMBOD??????因AM?（0，3，?3），平面BCD的法向量为n?(0,0,1).
????????????AM?n32?则有sin??cosAM,n?????，所以??45?. ???26AM?nyxC?????????（2）CM?(?1,0,3)，CA?(?1,?3,23).
???????????n1?CM???x?3z?0设平面ACM的法向量为n1?(x,y,z)，由??????.解得?得?????x?3y?23z?0?n1?CA???x?3z，y?z，取n1?(3,1,.1又)平面BCD的法向量为n?(0,0,1)，则
??????n?n1 cos?n1n,????1??5n1?n设所求二面角为?，则sin??1?(
21．（本小题满分12分）
1225. )?55x2y2已知抛物线C1：x?by?b经过椭圆C2：2?2?1(a?b?0)的两个焦点.
ab22(1) 求椭圆C2的离心率；
(2) 设Q(3,b)，又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点，
yQOM中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.comN x www.zgxzw.com 中国校长网 若?QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程.
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
解：（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(?c,0),F2(c,0)， 所以c2?b?0?b2，即c2?b2，由a2?b2?c2?2c2得椭圆C2的
yQOx离心率e?2M2. N（2）由（1）可知a2?2b2，椭圆C2的方程为：
x2y22b2?b2?1 联立抛物线C1的方程x2?by?b2得：2y2?by?b2?0， 解得：y??b2或y?b（舍去），所以x??62b ， 即M(?62b,?b6b2),N(2b,?2)，所以?QMN的重心坐标为(1,0). 因为重心在C2b?0?b2，得b?1.所以a21上，所以1??2.
所以抛物线C21的方程为：x?y?1，
椭圆Cx22的方程为：2?y2?1. 22．（本小题满分14分）
正实数数列{a2n}中,a1?1,a2?5,且{an}成等差数列.
(1) 证明数列{an}中有无穷多项为无理数；
(2)当n为何值时，an为整数，并求出使an?200的所有整数项的和. 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识
证明：（1）由已知有：a2n?1?24(n?1)，从而an?1?24(n?1)，
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www.zgxzw.com 中国校长网 2k方法一：取n?1?242k?1，则an?1?24（k?N*）
用反证法证明这些an都是无理数.
2k假设an?1?24为有理数，则an必为正整数，且an?24k，
故an?24k?1.an?24k?1,与(an?24k)(an?24k)?1矛盾，
2k所以an?1?24（k?N*）都是无理数，即数列{an}中有无穷多项为无理数;
21?24n的末位方法二：因为an?1?1?24n,(n?N)，当n的末位数字是3,4,8,9时，
数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时an?1?1?24n不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项an?1也有无穷多．
(2) 要使an为整数，由(an?1)(an?1)?24(n?1)可知：
an?1,an?1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an?1?6m或an?1?6m
2当an?6m?1时，有an?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)（m?N） 2又m(3m?1)必为偶数，所以an?6m?1（m?N）满足an?1?24(n?1)
即n?m(3m?1)?1（m?N）时，an为整数； 2*2同理an?6m?1(m?N*)有an?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)（m?N） 2也满足an?1?24(n?1)，即n?m(3m?1)?1（m?N*）时，an为整数； 2显然an?6m?1(m?N*)和an?6m?1（m?N）是数列中的不同项； 所以当n?m(3m?1)m(3m?1)?1（m?N）和n??1（m?N*）时，an为整数； 22由an?6m?1?200（m?N）有0?m?33， 由an?6m?1?200（m?N）有1?m?33. 设an中满足an?200的所有整数项的和为S，则
*S?(5?11???197)?(1?7???199)?
5?1971?199?33??34?6733 22中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．1 14．90 15．2
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 解： f?(x)?18x2?6(a?2)x?2a
16．
? 32a?1，所以a?9； 18（2）由??36(a?2)2?4?18?2a?36(a2?4)?0， 所以不存在实数a，使得f(x)是R上的单调函数.
（1）由已知有f?(x1)?f?(x2)?0，从而x1x2?18．（本小题满分12分）
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A)?1. 31111(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)????.
6662 19．（本小题满分12分）
解：（1）f(x)?sin2x?sinxcosx?cos2x?1?cos2x1?sin2x?cos2x 2211(sin2x?cos2x)? 222sin?cos?2tan?4??由tan??2得sin2??， 222sin??cos?1?tan?5?cos2??sin2?1?tan2?3cos2?????， 222sin??cos?1?tan?5所以f(?)?3. 5（2）由（1）得f(x)?112?1(sin2x?cos2x)??sin(2x?)? 22242中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com