www.zgxzw.com 中国校长网 ?5?5??2,]得2x??[,]，所以sin(2x?)?[?,1] 1224124422?11?2从而f(x)?sin(2x?)??[0,].
2422由x?[??
20．（本小题满分12分）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
EOMO1??，EO?OB?3，EBAB2?所以EB?23?AB，故?AEB?45.
OB=MO=3，MO∥AB，则
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为?.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
A _
M _
B _
O _
C _
E _ D _
H _
F _
BF?BC?sin60??3，
AB25?2，sin?? BF525所以，所求二面角的正弦值是. 5tan??解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为?.
AzMBOD??????因AM?（0，3，?3），平面BCD的法向量为n?(0,0,1).
????????????AM?n32??则有sin??cosAM,n?????，所以??45. ???26AM?nyxC?????????（2）CM?(?1,0,3)，CA?(?1,?3,23).
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z???????????n1?CM???x?3z?0设平面ACM的法向量为n1?(x,y,z)，由??????.解得?得?????x?3y?23z?0?n1?CA???x?3z，y?z，取n1?(3,1,.1又)平面BCD的法向量为n?(0,0,1)，则
??????n?n1 cos?n1n,????1??5n1?n设所求二面角为?，则sin??1?(21. （本小题满分12分）
解：（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F 1(?c,0),F2(c,0)，
22222222所以c?b?0?b，即c?b，由a?b?c?2c得椭圆C2的
www.zgxzw.com 中国校长网 1225. )?55yQ离心率e?2. 2MONx22（2）由（1）可知a?2b，椭圆C2的方程为：
x2y2??1 2b2b2联立抛物线C1的方程x2?by?b2得：2y2?by?b2?0， 解得：y??b6或y?b（舍去），所以x??b ， 22即M(?6b6bb,?),N(b,?)，所以?QMN的重心坐标为(1,0). 2222222因为重心在C1上，所以1?b?0?b，得b?1.所以a?2.
所以抛物线C1的方程为：x2?y?1，
x2?y2?1. 椭圆C2的方程为：2 22．（本小题满分14分）
2证明：（1）由已知有：an?1?24(n?1)，从而an?1?24(n?1)，
方法一：取n?1?242k?12k*，则an?1?24（k?N）
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www.zgxzw.com 中国校长网 用反证法证明这些an都是无理数.
2k假设an?1?24为有理数，则an必为正整数，且an?24k，
故an?24k?1.an?24k?1,与(an?24k)(an?24k)?1矛盾，
2k所以an?1?24（k?N*）都是无理数，即数列{an}中有无穷多项为无理数;
21?24n的末位方法二：因为an?1?1?24n,(n?N)，当n的末位数字是3,4,8,9时，
数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时an?1?1?24n不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项an?1也有无穷多．
(2) 要使an为整数，由(an?1)(an?1)?24(n?1)可知：
an?1,an?1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an?1?6m或an?1?6m
2当an?6m?1时，有an?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)（m?N） 2又m(3m?1)必为偶数，所以an?6m?1（m?N）满足an?1?24(n?1)
即n?m(3m?1)?1（m?N）时，an为整数； 2*2同理an?6m?1(m?N*)有an?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)（m?N） 2也满足an?1?24(n?1)，即n?m(3m?1)?1（m?N*）时，an为整数； 2显然an?6m?1(m?N*)和an?6m?1（m?N）是数列中的不同项； 所以当n?m(3m?1)m(3m?1)?1（m?N）和n??1（m?N*）时，an为整数； 22由an?6m?1?200（m?N）有0?m?33， 由an?6m?1?200（m?N）有1?m?33. 设an中满足an?200的所有整数项的和为S，则
*S?(5?11???197)?(1?7???199)?
5?1971?199?33??34?6733 22中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com