小中高 精品 教案 试卷
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，
c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1
＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)
a5b5c5111 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：33＋33＋33≥＋＋.
bccaababc 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
11
∵a≥b>0，∴≤.
ab11
又c>0，从而≥.
bcca11111同理≥，从而≥≥. caabbccaab又由于顺序和不小于乱序和，故可得
a5b5c5b5c5a5
＋＋≥＋＋ b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3b2c2a2?222111?＝3＋3＋3?∵a≥b≥c，3≥3≥3?
cba?cab?c2a2b2111
≥3＋3＋3＝＋＋ cabcab111＝＋＋.
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∴原不等式成立．
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
π11．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α
22＋sin 2β＋sin 2γ)．
π?π??π?证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在?0，?为增函数，y＝cos x在?0，?为减函
2?2?2??数，
∴0
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin 1
γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
2
2．设x≥1，求证：1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x. 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x≤…≤x.
由排序原理，得1＋x＋x＋…＋x≥1·x＋x·x即1＋x＋x＋…＋x≥(n＋1)x.①
又因为x，x，…，x1为1，x，x，…，x的一个排列， 由排序原理，得1·x＋x·x＋…＋x≥1·x＋x·x3
2
2
2
4
2n2
2
4
2n22
2nnnnn－1
＋…＋xn－1
·x＋x·1，
nnn,2nn－1
·x＋x·1
nnnn－1
＋…＋xnn－1
·x＋x·1，
nn得x＋x＋…＋x2n－1
＋x≥(n＋1)x.②
2
2n将①②相加，得1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x.
用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假 πaA＋bB＋cC 在△ABC中，试证：≤. 3a＋b＋c 可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得
设) naA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
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2
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相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得
aA＋bB＋cCπ
≥. a＋b＋c3
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．
3．设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的某一排列，求证：＋＋…＋≥n. 111
证明：不妨设0
因为，，…，是，，…，的一个排列，
c1c2cna1a2an由排序原理，得
111111a1a2ana1·＋a2·＋…＋an·≤a1·＋a2·＋…＋an·，即＋＋…＋≥n.
a1a2anc1c2cnc1c2cn4．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列， 12n－1a1a2an－1
求证：＋＋…＋≤＋＋…＋. 23na2a3an证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1 cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1 111则>>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n. c1c2cn－1 利用排序不等式，有 a1a2an－1b1b2bn－112n－1＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. a2a3anc1c2cn－123n∴原不等式成立． 课时跟踪检测(十一) 1．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为( ) A．A≥B≥C C．A≤B≤C B．A≥C≥B D．A≤C≤B 解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A≥C≥B. 2．若A＝x1＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( ) 3 2 2 2 制作不易 推荐下载 小中高 精品 教案 试卷 A．A>B B．A 解析：选C 序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn， x1为序列{xn} 的一个排列．由排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即 22 x21＋x2＋…＋xn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 3．锐角三角形中，设P＝A．P≥Q a＋b＋c2 ，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( ) B．P＝Q C．P≤Q D．不能确定 解析：选C 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C， 则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A ≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ＝R ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝P＝a＋b＋c2 . 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( ) A．76 B．20 C．84 D．96 解析：选A 设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)． 5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3 的最大值是________，最小值是________． 解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 28 6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s、4 s、3 s、7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s. 解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41 π 7．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的 4大小关系为________． 解析：不妨设a≥b>0，则A≥B>0，由排序不等式 ?aA＋bB≥aB＋bA? ??2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B) aA＋bB＝aA＋bB?? 制作不易 推荐下载 4 小中高 精品 教案 试卷 π ＝(a＋b)， 2π ∴aA＋bB≥(a＋b)． 4π 答案：aA＋bB≥(a＋b) 4 a4＋b4＋c4 8．设a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c≤. abc证明：由题意不妨设a≥b≥c>0. 由不等式的性质，知a≥b≥c，ab≥ac≥bc. 根据排序原理，得abc＋abc＋abc≤ac＋ba＋cb.① 又由不等式的性质，知a≥b≥c，且a≥b≥c. 再根据排序不等式，得 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a3c＋b3a＋c3b≤a4＋b4＋c4.② 由①②及不等式的传递性，得 a2bc＋ab2c＋abc2≤a4＋b4＋c4. 两边同除以abc得证原不等式成立． 9．设a，b，c为任意正数，求解：不妨设a≥b≥c， 则a＋b≥a＋c≥b＋c，由排序不等式，得 111≥≥. b＋cc＋aa＋bab＋cc＋aa＋b＋b＋c的最小值． aab＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b以上两式相加，得2?∴ ＋ ＋ bb＋＋cc≥≥bc＋＋ca＋＋ ab， ， ?a＋b＋c?≥3， ??b＋cc＋aa＋b? 3≥， b＋cc＋aa＋b2 ＋＋ abc即当且仅当a＝b＝c时， ab＋c＋ 3 的最小值为. c＋aa＋b2 ＋ bc10．设x，y，z为正数，求证： 制作不易 推荐下载 5