小中高 精品 教案 试卷
x2＋y2y2＋z2z2＋x2
x＋y＋z≤＋＋.
2z2x2y证明：由于不等式关于x，y，z对称， 111222
不妨设0 zyx由排序原理：反序和≤乱序和，得 x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·， xyzzxyx2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·， xyzyzxx2＋y2y2＋z2z2＋x2x2＋y2y2＋z2 将上面两式相加，得2(x＋y＋z)≤＋＋，于是x＋y＋z≤＋zxy2z2xz2＋x2 ＋. 2y1 1 1 1 1 1 111111 本讲高考热点解读与高频考点例析 考情分析 从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题． 真题体验 (陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}． (1)求实数a，b的值； (2)求at＋12＋bt的最大值． 解：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a， ?－b－a＝2，? 则???b－a＝4， 2 解得? ?a＝－3，???b＝1. (2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t ≤ 3 2 ＋14－t2 ＋t2 ] ＝24－t＋t＝4， 当且仅当 4－tt＝，即t＝1时等号成立， 13 制作不易 推荐下载 6 小中高 精品 教案 试卷 故(－3t＋12＋t)max＝4. 利用柯西不等式证明有关不等式问题 柯西不等式的一般形式为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋ 222222anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式， 可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解． 11111111 已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：2＋2＋2＋2＞＋＋＋. abcdabbccdda?1111??11 由柯西不等式?2＋2＋2＋2??2＋2＋?adbcd??bc 1 d2 1?1111?＋2??≥?＋＋＋?2， a??abbccdda? 11111111 于是2＋2＋2＋2≥＋＋＋.① abcabbccdda1111 等号成立?＝＝＝?＝＝＝?a＝b＝c＝d. 1111abcdabcdbcdabcda又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立． 11111111即2＋2＋2＋2>＋＋＋. abcdabbccdda 利用排序不等式证明有关的不等式问题 排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便． a12b12c12101010 设a，b，c为实数，求证：＋＋≥a＋b＋c. bccaab 由对称性，不妨设a≥b≥c， 111121212 于是a≥b≥c，≥≥. bccaab由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a12b12c12a12b12c12a11b11c11 ＋＋≥＋＋＝＋＋.① bccaababbccabca111111111 又因为a≥b≥c，≤≤， abc再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 制作不易 推荐下载 7 小中高 精品 教案 试卷 a11b11c11a11b11c11 ＋＋≤＋＋.② abcbcaa12b12c12101010 由①②得＋＋≥a＋b＋c. bccaab 利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易． 152222 已知5a＋3b＝，求a＋2ab＋b的最大值． 8解：∵??≥? ??5?2?3?2? ?＋??? ??5??3?? 3?5?2 ×5a＋×3b? 3?5? 2 2 2 ＝(a＋b)＝a＋2ab＋b， 35 当且仅当5a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立． 8882222 ∴×(5a＋3b)≥a＋2ab＋b. 15 88152222 ∴a＋2ab＋b≤×(5a＋3b)＝×＝1. 15158∴a＋2ab＋b的最大值为1. 2 2 x2x2x212n－1 已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值，求F＝＋＋…＋x2x3xnx2n＋的最小值． x1 不妨设0 111222则≥≥…≥>0，且0 x1x2x2x3 xn?1?1111 ∵，，…，，为序列??的一个排列， xnx1 ?xn? 根据排序不等式，得 x2x2x2x212n－1nF＝＋＋…＋＋ x2x3xnx1 111222 ≥x1·＋x2·＋…＋xn· x1x2xn＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)， 制作不易 推荐下载 8 小中高 精品 教案 试卷 当且仅当x1＝x2＝…＝xn＝时，等号成立． 22 x2x1x2x2n－1n即F＝x＋x＋…＋x＋x的最小值为P. 23n1 Pn 制作不易推荐下载 9