课程设计说明书（论文） 第II页
边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种：
(1) 已知两端的一节导数值，即
?s'(x0)?f0's'(xn)?fn' （1.3）
(2)两端的二阶导数已知，即
?s''(x0)?f0''s''(xn)?fn'' （1.4）
特殊情况下的边界条件
''''s(x)?s(xn)?0 （1.4）’ 0
称为自然边界条件
x（3）当f(x)是以n条件应满足
?x0 为周期函数时，则要求s(x) 也是周期函数，这时边界
而此时式中
, 这样确定的样条函数
称为周期函数。
二 函数推导原理及构造
我们采用待定一阶导数的方法即设S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因为分段三次Hermite
插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S??(xi?0)?S??(xi?0),i?1,?,n?1xixi?1?xx?xixi?1?xS(x)?yi?0(x?)?y?()?mh?()?mh?(i?10ii1i?1i1hihihihi)课程设计说明书（论文） 第III页
x?[xi,xi?1],hi?xi?1?xi,i?0,1,?,n?1
?(x)?(2x?1)(x?1)2,?1(x)?x(x?1)2
对S(x)求二阶导数,并整理后得i 6(xi?xi?1?2x)??S(x)?(yi?1?yi) i3hi
6x?2xi?4xi?16x?4xi?2xi?1 ?m?mi?1i hi2hi2
642 ????limS(x)?S(x?0)?(y?y)?m?mi?1ii?1ii x?xi?hi2hihi ?624????limS(x)?S(x?0)?(y?y)?m?mi iii?1i?12x?xi?hhh i?1i?1i?1
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
S??(xi?0)?S??(xi?0),i?1,2,?,n?11111mi?1?2(?)mi?mi?1?3(yi?1?yi?yi?yi?1)hi?1hi?1hihihi2hi2?1 整理化简后得：
hihi?1mi?1?2mi?mi?1i?1,?,n?1hi?1?hihi?1?hihiyi?yi?1hi?1yi?1?yi?3(?)hi?1?hihi?1hi?1?hihi?i?hihi?hi?1?i?hi?1?1??ihi?hi?1gi?3(?iyi?yi?1y?y??ii?1i)hi?1hi
共个n?1个方程,n?1个未知量第一类三次样条插值问题方程组由于已知：
S?(x0)?m0S?(xn)?mn基本方程组化为n-1阶方程组
化为矩阵形式
???????2m1??1m2?g1??1f0?hiyh?yyi?yhyhi?1?yiyi?1?yiii??11?3(?3(iii?1??i?1))?kmk?1?2mk??kmk?1h?g?hhh?hhh?hhh?hhi?1kii?i?1i?i,?11?2ii?1iiik1?2i,3,?n ?n?1mn?2?2mn?1?gn?1??n?1fn?课程设计说明书（论文） 第IV页
\\
?2?1??m1??g1??1m0????????2?mg22?2??2??????m3????32?3g3???????2????4?????? ??????????????????n?22?n?2??mn?2??gn?2????g??m??n?12??mn?1?1n?1n??????n?这是一个严格对角占优的三对角方程组,用追赶法可以求解！
第二类三次样条插值问题的方程组,由于已知：
S??(x0)?M0 S??(xn)?Mn M?M?0时，称为自然边界条件n 0故得：
264S??(x0)?2(y1?y0)?m0? m1?M0h0hh0 0
稍加整理得
S??(xn)??642(y?y)?m?mn?Mnnn?1n?12hn?1hn?1hn?1 y1?y0h0?2m0?m1?3?M0 g0h02 yn?yn?1hn?1 mn?1?2mn?3?Mn?gnhn?12 联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组，化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优
?21??m0??g0????????2?mg1?1??1??1??22?2???m2??g2???????????32???? ???????????????n?12?n?1??mn?1??gn?1???????1 2????mn??gn?第三类样条插值问题的方程组，由于：
立即可得下式：
S?(x0?0)?S?(xn?0)?m0?mnS??(x0?0)?S??(xn?0)62S??(x0?0)?2(y1?y0)?(m1?2m0)h0h0 26S??(xn?0)?2(yn?yn?1)?(mn?1?2mn)hn?1hn?1 ?nm1??nmn?1?2mn?gn
课程设计说明书（论文） 第V页
其中:
?n?h0hn?1,?n??1??nh0?hn?1h0?hn?1?y1 ?y0yn?yn?1???gn?3??n??nh0hn?1? ??联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
?0,1,2,......,n?1i
?1??2?1???2?11???m??g? ???1??1??22?2???m2??g2?求解这些不同类型的样条插值问题的方程组，我们可得所要待定的一阶导数： ?32???? ??????m0,m1,m2,?,mn????????? ?g????mn????n??n?12?n?1?再代入S(x)的每一段表达式，就求得三次样条函数的表达式! ??? ?n2?n??x?xixi?1?xxixi?1?x
S(x)?yi?0(hi)?yi?1?0(hi)?mihi?1(x?hi)?mi?1hi?1(hi)
利用插值（即求过已知有限个数据点的近似函数）的基本原理，用多项式作为研究插值的工具，进行代数插值。其基本问题是：已知函数f (x)在区间[a,b]上n +1个不同点x0，?，xn处的函数值 (i = 0,1,?,n)，求一个至多n 次多项式ψn(x)使其在给定点处与 f (x)同值，即满足插值条件: ψn(x)= = .许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间[a,b]的一个分划Δ如果函数s(x) 满足：
（i）在每个小区间[ ](i=0,1,?,n)上s(x)是k 次多项式； （ii）s(x)在[a,b]上具有k ?1阶连续导数。
则称s(x)为关于分划Δ 的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。 由于三次样条插值我、函数s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为
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s'(x)?mk(k?0,1,...,n) （1.01）
根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间
[xk,xk?1]](k?0,1....,n?1)[xk,xk?1]](k?0,1....,n?1) 上市不超过三次的多项式。在每一个小区间
上，其二阶导数为线性函数，即
s''(x)?mkxk?1?xx?xk?mk?1xk?1?xkxk?1?xk （1.02）
对式（1.02）积分两次，则得到
(xk?1?x)3(x?xk)3s(x)?mk?mk?1?ak(x?xk)?bk6hk6hk （1.03）
其中
hk?xk?1?xk,ak,bk为任意常数。又根据样条插值函数定义中的条件（3）
，即
s(xk)?f(xk)?yk s(xk?1)?f(xk?1)?yk?1
可以确定
ak与
bk为
yk?1?ykh?k(mk?1?mk)akhk6=
bk?yk?mk
将式（1.04）中
2hk6 （1.04）
ak与
bk的值代入表达式（1.03后，就可以得到样条插值函数
s(x)在区间[xk,xk?1]上的表达式为
(xk?1?x)3(x?xk)3yk?1?ykhkhk2s(x)?mk?mk?1??(mk?1?mk)(x?xk)?yk?mk6hk6hkhk66 （1.05）
其中
mk与
mk?1分别为区间[xk,xk?1]两端点处的二阶导数值。由此可以看处，只要
能确定各点处的二阶导数值
mk(k?0,1....,n?1)，则子渠道间上的三次样条插值函数
s(x)也确定了。