三角函数的图象与性质（十六） 三角函数的图象与性质（十六）
基础梳理导学
夯实基础 稳固根基
1．有向线段：一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向，若线段的方向与坐标轴的
_____一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定它是负的． 2．三角函数线
设角α的终边与单位圆交于点P，过P点作PM⊥x轴于M，过点A(1,0)作单位圆的切线，
与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段____、____、___分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．
3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的简图
五点的取法是：设X＝ωx＋φ，由X取_______________来求相应的x值及对应的y值，再
描点作图．
4．图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换
得到：(1)相位变换; (2)周期变换;(3)振幅变换. 5．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，
2π1
T＝ω叫做周期，f＝T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为___.函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为___. 6．正弦曲线y＝sinx的对称轴为_______________．对称中心为______________；
余弦曲线y＝cosx的对称轴为___________，对称中心为_____________________；
kπ
函数y＝tanx图象的对称中心为(，0)(k∈Z)．
2
7．三角函数的图象与性质 三角 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图 象 定义 域 [－1,1]， 值域 和 最值 [－1,1]， π值域R， 当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1， 2当x＝2kπ时(k∈Z)，ymax＝1， 无最大值和最小值 π当x＝2kπ＋π时(k∈Z)，ymin＝－1 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1 2R R π{x|x∈R，且x≠kπ＋， 2k∈Z} ----------------------------------------------------------------------------------------------- 思想方法技巧
一、“数形结合”方法
在三角函数的图象和性质中，数形结合思想的运用主要体现在用三角函数的图象和单位圆
中的三角函数线解相关问题，如求函数的定义域、解三角不等式等． [例1] 函数y＝tanx＋lg cosx的定义域是________________． 二、解题技巧
五点法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例2] 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则
ω和φ的取值是( )
ππ
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ 33
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三角函数的图象与性质（十六） 1π1πC．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 2626
考点典例讲练
★三角函数图象的变换
π5π
－，?上的图象，[例1] 下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间?为了得到这个函数的图?66?象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
π
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标3
1
缩短到原来的倍，纵坐标不变
2π
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
3
伸长到原来的2倍，纵坐标不变
π
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标6
1
缩短到原来的倍，纵坐标不变
2π
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
(文)(2012·安徽文，7)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
11
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
22
(理)要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图象上所有点的( )
1π
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
281π
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
24
π
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
4π
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
8
★已知三角函数的图象求解析式
[例2] (2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
ππ
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(2x－) 66ππ
C．y＝cos(2x＋) D．y＝cos(2x－)
36
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋?
＋f(2013)的值为( )
40274029
A．2012 B. C．2013 D.
22
★五点法作图
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三角函数的图象与性质（十六） π?π3[例3] f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f?＝?4?2. 2(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
2
(3)若f(x)>，求x的取值范围．
2
ππ
(2011·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,0<ω<2，－<φ<)22
的图象，列出的部分数据如下表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的
解析式应是________．
★三角函数的定义域
[例4] (2011·湛江调研)函数y＝lg(sinx)＋
函数y＝tanx＋cosx的定义域为________．
1
cosx－的定义域为________．
2
★三角函数的值域
[例5] 求下列函数的值域： π
(1)y＝3sinx－cosx ，(|x|≤)；
2
(3)y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x.
(2)y＝cos2x＋2sinx，(0≤x≤π)；
ππ
(文)(2011·重庆一中月考)函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[，]上的最大值是( )
42
1＋33
A．1 B. C．1＋3 D.
22(理)(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝
则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( )
5π
，3
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三角函数的图象与性质（十六） 2223426A. B. C. D. 3333★三角函数的周期性
[例6] (文)(2011·武汉调研)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
π5π?kπ＋5π，kπ＋11π?，k∈Z kπ－，kπ＋?，k∈Z A.?B.1212?1212???ππ?kπ－π，kπ＋2π?，k∈Z kπ－，kπ＋?，k∈Z C.?D.36?63???
ππ
(理)设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小
25
值为( )
1
A．4 B．2 C．1 D.
2
(2011·课标全国理)函数y＝
1
的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标1－x
D．8
之和等于( ) A．2 B．4 C．6
★三角函数的奇偶性、单调性
[例7] (文)(2011·北京东城质检)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最
π5π
小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，则f()的值为( )
23
1133A．－ B. C．－ D. 2222
(理)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合． πππ
若函数f(x)＝sinωx (ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
332
23 A. B. C．2 D．3
32
课堂巩固训练
一、选择题 2．(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y＝f(x)sinx的一部分图象如
图所示，则函数f(x)的表达式可以是( ) A．2sinx B．2cosx C．－2sinx D．－2cosx
3．(文)(2011·山东烟台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，
π
|φ|<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )
2
πππ
A．2,0 B．2， C．2，－ D．2， 436
?a1a2?＝aa－aa.将函数f(x)＝
1．定义行列式运算??1423
?a3a4?
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三角函数的图象与性质（十六） ?sin2x??cos2x
3?π以下是所得函数图象的一个对称中心的是( ) ?的图象向左平移6个单位，1?ππππ
A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)
42312
kx＋1， ?－2≤x<0?，??
(理)(2011·东北师大附中)函数y＝? 的图象如下图，则( ) 8π
2sin?ωx＋φ?， ?0≤x≤?.?3?11π11π
A．k＝，ω＝，φ＝ B．k＝，ω＝，φ＝ 2262231ππ
C．k＝－，ω＝2，φ＝ D．k＝－2，ω＝2，φ＝
263
二、解答题
cos2x－sin2x11
4．(文)已知函数f(x)＝，g(x)＝sin2x－.
224
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
?sinx－cosx?sin2x
(理)(2012·北京文)已知函数f(x)＝.
sinx
(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．
三角函数的图象与性质
基础巩固强化
π
1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单
3
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) 1
A. B．3 C．6 D．9 3 (理)函数f(x)＝sin2x＋3cos2x的图象可以由函数y＝2sin2x的图象经哪种平移得到( )
ππ
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
126ππ
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
126
π
2．(文)(2012·福建文，8)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
4
ππππ
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
4242
π
(理)(2011·海淀模拟)函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为( )
3
π5πππ
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
121236
π
3．(文)(2011·唐山模拟)函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为( )
6
π2ππππππ3π
A．(，) B．(－，) C．(－，) D．(，) 63362222
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