思维升华 解答离散型随机变量的概率分布及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据概率分布和均值、方差公式求解．
(1)(2013·湖北改编)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样
大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.
(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得2
到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是
31
相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值
12E(X)＝________. 65
答案 (1) (2)
53
解析 (1)125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值 543681506
E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝.
1251251251255111(2)由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 3122随机变量X的概率分布为
X P 0 1 121 1 32 5 123 1 611515E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 1231263
概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：(1)基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量(长度、
面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的均值与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的均值和方差.
真题感悟
1．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 3答案 5
6
解析 取两个点的所有情况为C2所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为5＝10，103＝. 5
2．(2014·浙江改编)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中． (1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)． 则p1，p2的大小关系为________． 答案 p1>p2
解析 随机变量ξ1，ξ2的概率分布如下：
ξ1 P
ξ2 P 所以E(ξ1)＝
n2m2m＋n＋＝， m＋nm＋nm＋n
1 C2n 2Cm＋n2 1C1mCn 2Cm＋n1 n m＋n2 m m＋n3 C2m 2Cm＋n
1
3m＋nC22C13C2nmCnmE(ξ2)＝2＋2＋2＝，
Cm＋nCm＋nCm＋nm＋n
所以E(ξ1) mn12m＋n 因为p1＝＋·＝， m＋nm＋n22?m＋n? 1 3m＋nC2C1C2mmCn2n1 p2＝2＋2·＋2·＝， Cm＋nCm＋n3Cm＋n33?m＋n? n p1－p2＝>0，所以p1>p2. 6?m＋n?押题精练 1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为__________________________________________________________________． 答案 8 21 解析 有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C410＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同，” 80811111则事件A包含了C5·C2·C2·C2·C2＝80个基本事件，所以P(A)＝＝. 21021 2．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是________． 答案 96 625 解析 由题意得任取两球有C26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，62 (3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为2＝，故4人中有3人 C6523396 中奖的概率为C3. 4()×＝55625 3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，1 比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比 2赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)． 解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列． 设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，∴Sn＝ n?10n＋70? ＝300. 2 解得n＝－12(舍去)或n＝5，∴总决赛共比赛了5场． 则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 1141C4()＝. 24 (2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490. 1又P(X＝220)＝2·()4 21141＝，P(X＝300)＝C14()＝， 824 1555316P(X＝390)＝C2，P(X＝490)＝C6()＝. 5()＝216216所以，X的概率分布为 X P 220 1 8300 1 4390 5 16490 5 161155所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元). 841616 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2014·课标全国Ⅰ改编)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________． 7 答案 8 解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅1＋17在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝. 168 2．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为________． π答案 1－ 8 4×4×sin 150°－π×12π 解析 P＝＝1－. 84×4×sin 150° ?y≥0，23．已知Ω＝{(x，y)|?}，直线y＝mx＋2m和曲线y＝4－x有两个不同的交点， ?y≤4－x2它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)， π－2 若P(M)∈[，1]，则实数m的取值范围为________． 2π答案 [0,1] 解析 如图，由题意得m≥0，根据几何概型的意义， S弓形S弓形 知P(M)＝＝， S半圆2ππ－2 又P(M)∈[，1]， 2π所以S弓形∈[π－2,2π]． 故0≤m≤1. 4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是________． 7答案 9 解析 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 3377则P(A)＝，P(AB)＝×＝. 10109307 P?AB?307 则所求概率为P(B|A)＝＝＝. 39P?A? 10 5．将三个骰子各掷一次，设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是________． 答案 601 912 解析 根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率．因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6－5×5×5＝91(种)，“三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C13×5×4＝60(种)， 60所以P(A|B)＝. 91 P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的