南昌大学 2008～2009学年第二学期期中考试试卷
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为.
.
??????????????2. 已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为
3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是
.
4x?y222x??2?e的特解
4. 函数f(x,y)?ln(1?x?y)?z?x?y2的定义域是.
5. 函数z?xy, 则
?.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 则
f(x?y,x?y,xy)?( ).
(A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y.
??2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 则 ( ).
(A) ??4,???1. (B) ???4,???1. (C) ??1,???1. (D) ???2,??4.
??????3. 设a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),
则z?( ).
(A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3.
1
4. 曲线y?ln(1?x)上 0?x?21 一段的弧长S? ( ). 212 (A) ?21??1??
0?1?x2?dx . ?1 (B) ?201???ln(1?x2?2?dx .
1(C)
?21??2x
01?x2dx 12(D)
?21?x01?x2dx .
5. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分
方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数,
则该非齐次线性微分方程的通解是 ( ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3.
(C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.
三、计算题(共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．已知两条直线的方程是：
L?2?11:x?11?y?20?z?3?1,L2:x2?y1?z1,求通过直线L1且平行于L2的平面方程. 2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影.
2
四、解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,
x0求?(x)
2、求微分方程 2y''?5y'?5x2?2x?1 的通解. 五、计算下列各题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、(应用题) 求曲线y?3?x2与直线y?2x
所围成图形的面积. 2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy, 求fx(x,1).
六、求下列导数（共2小题. 每小题7分, 共14分）: 1、设z?z(x,y)是由方程 2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z 所确定的隐函数, 证明:
?z?z?x??y?1.
2、设z?f(exsiny,x2?y2), 其中f具有二阶连续偏导数
2求
?z?x?y.
七、(8分) 设f(x)为连续函数,
(1) 求初值问题 ??y'?ay?f(x),? 的解y(x)。
??yx?0?0其中a是正的常数;
(2) 若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,
3
有y(x)?ka(1?e?ax).
南昌大学 2008～2009学年第二学期期中考试试卷及答案 三、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为
e?eb?aba.
??????????????2. 已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为
1219.
x?3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是y?esinx. 4. 函数f(x,y)?4x?y222?2?e的特解
ln(1?x?y)22的定义域是
2?(x,y)0?x5. 函数z?xy, 则
?y?1,y?4xy?1?y?1.
lnx?z?x?y2?x?yx.
四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 则
f(x?y,x?y,xy)?( B ).
(A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y.
??2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 则 ( A ).
(A) ??4,???1. (B) ???4,???1.
4
(C) ??1,???1. (D) ???2,??4.
3. 设??????a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),
则z?( B ).
(A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3. 4. 曲线y?ln(1?x2)上 0?x?12 一段的弧长S? ( D ).
12 (A) ?21??1??01?xdx .
?2??1 (B) ?201??2?2?ln(1?x?dx .
1(C)
?21??2x01?x2dx
12(D)
?21?xdx .
01?x25. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分
方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数,
则该非齐次线性微分方程的通解是 ( C ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3.
(C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.
三、计算题(共2小题, 每小题8分, 共16分)
5