1．已知两条直线的方程是：
L1:x?11?y?20?z?3?1,L2:x?22?y?11?z1,
求通过直线L1且平行于L2的平面方程.
?解: 所求平面的法向量为: n?(1,0,?1)?(2,1,1)?(1,?3,1).
点(1,2,3)在平面上,
则平面方程为: (x?1)?3(y?2)?(z?3)?0. 即 x?3y?z?2?0. 2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影. 解: 过点(?1,2,0)而垂直于已知平面的直线方程是
x?t?1,y?2t?2,z??t.
代入平面方程得 6t?4?0, ?t??从而 x??53,y?23,z?23.
23.
?522?故点(?1,2,0)在平面的投影是??,,?.
?333?四、解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,
0x求?(x)
解: 方程两边对x求导, 得：
?'(x)cosx??(x)sinx?2?(x)sinx?1,
即： ?'(x)?tanx??(x)?secx.
6
??(x)?e??tanxdx???secxe?tanxdxdx?C??
?Ccosx?sinx. 又由方程知 ?(0)?1,?C? 1 故 ?(x)?cosx?sinx.
2、求微分方程 2y''?5y'?5x2?2x?1 的通解. 解: 2r2?5r?0,?r51?0,r2??2.
?Y?C1?C?52x2e. ???0为单根, ?设y*?(Ax2?Bx?C)x.
代入原方程,比较系数得: A?1373,B??5,C?25.故原方程的通解为:
5y?C2x1?C2e??1323x3?5x?725x.
五、计算下列各题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、(应用题) 求曲线y?3?x2与直线y?2x
所围成图形的面积.
解: 两曲线的交点是A(1,2),B(?3,?6),
故面积 S??1(3?x2?2x)dx ?3 ?323.
2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy, 求fx(x,1).
7
解: fx(x,y)?1?(y?1)?1?11?xx?1y,
y2y?fx(x,1)?1?0?1.
六、求下列导数（共2小题. 每小题7分, 共14分）: 1、设z?z(x,y)是由方程 2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z 所确定的隐函数, 证明:
?z?x??z?y?1.
证明: 设F(x,y,z)?2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z.
?Fx?2cos(x?2y?3z)?1,Fy?4cos(x?2y?3z)?2,
Fz??6cos(x?2y?3z)?3
??z2cos(x?2y?3z)?1?x??FxF?z6cos(x?2y?3z)?3,
?z??Fy?yF?4cos(x?2y?3z)?2z6cos(x?2y?3z)?3.
故：
?z?x??z?y?1. 证毕.
2、设z?f(exsiny,x2?y2), 其中f具有二阶连续偏导数
2求
?z?x?y.
解:
?z'x'?x?f1?esiny?2x?f2
8
?2z'xxx''?x?y?f1?ecosy?esiny?f''11?ecosy?f12?2y?
?2x?f''x''21?ecosy?f22?2y??f'excosy?f''2x1?11?esinycosy
?2f''x''12?e?ysiny?xcosy??4xyf22
七、(8分) 设f(x)为连续函数,
(1) 求初值问题 ??y'?ay?f(x),? 的解y(x)。??yx?0?0其中a是正的常数;
(2) 若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,
有y(x)?kaxa(1?e?).
解: (1). 线性微分方程的通解为
y(x)?e??adx???f(x)e?adxdx?C??
?e?ax???f(x)eaxdx?C???e?ax?F(x)?C?.
其中F(x)是f(x)eax的任一原函数. 由y(0)?0, 得 C??F(0). 故
y(x)?e?ax?F(x)?F(0)??e?ax?xf(t)eatdt.
0
9
(2). 当x?0时,
x)?e?ax??f(t)eatdt
0x?e?ax?f(t)eatdt?ke?axat
0?xedt0?ke?ax?1atx??e0??ke?ax?1ax?a?a?e?1? ?k?axa?1?e?.
10
y(x