中考数学总复习（六）
第六讲：平面直角坐标系与一次函数
本节课主要讲解：函数的基础知识以及一次函数。函数在中考中所占比重相当大，不仅有理论性的题型，又有不少的应用题。学习方法：数形结合思想。
平面直角坐标实际问题 系 函 变量 数 一次函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 函 数的应用 二次函数的图象与性质
考点1 平面直角坐标系
1、定义：
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成了平面直角坐标系。其中水平的数轴称为 或者 ，一般取 为正方向；竖直的数轴称为 或者 ，取向上的方向为正方向，这个公共的交点为坐标系的 。 2、四个象限内点的坐标规律： ①点P（x，y）在第一象限? ；②点P（x，y）在第二象限? ； ③点P（x，y）在第三象限? ；④点P（x，y）在第四象限? 。 3、坐标轴上点的坐标规律：
①点P（x，y）在x 轴上? ；②点P（x，y）在y 轴上? ； ③点P（x，y）上是原点? 。 4、对称点的坐标规律：
①点P（x，y）关于x轴的对称点的坐标是 ；②点P（x，y）关于y轴的对称点的坐标是 ； ③点P（x，y）关于原点的对称点的坐标是 。 5、点到坐标轴的距离：
①点P（x，y）到x轴的距离为 ；②点P（x，y）到y轴的距离为 。 6、点的平移
①上（下）平移： 坐标不变， 坐标加上（或减去）一个数； ②左（右）平移： 坐标不变， 坐标加上（或减去）一个数。
考点2 函数及函数图象
1、常量、变量、自变量、因变量
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量；数值发生变化的量为变量。变量以非数字的符号来表达，一般用拉丁字母。变量是常量的相反概念。
如果一个变量总是随着另一个变量的变化而变化，则后一个变量叫自变量，前一个变量叫因变量。 2、函数：
（1）概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么就说x是 ，y是x的 。变量，是指没有固定的值，可以改变的数。 【例1】下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ）
y O A．
x y O x y O x y O D．
x C． B．
（2）自变量的取值范围：
整式函数：自变量的取值范围是全体实数；
含有分式的函数，其自变量的取值范围应使分母不为0；
有偶次根式的函数：其自变量的取值应使被开方式为非负数； 与实际问题有关的函数：其自变量的取值应根据题目确定。 【例2】（1）函数y? （2）函数y?练习：1、函数yA．x≥?1 2、已知函数y??2x?1中自变量x的取值范围是
；
。
2x?4中自变量x的取值范围是
x?12?x中，自变量x的取值范围是（ ）
D．x?2
1x?3B．?1≤x≤2 C．?1≤x?2 ，则函数自变量x的取值范围是（ ）
(A)x≥3 (B)x>3 (C)x≠3 (D)x<-3 3、在函数y?x?23x中，自变量x的取值范围是（ ）
Ｂ．x≤2且x?0 Ｃ．x?0
Ｄ．x≤?2
Ａ．x≥?2且x?0
3
4、函数y= 的自变量x的取值范围是___________。
x
（3）函数值：对于一个函数，如果当自变量x=a时，因变量y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
（4）函数图像：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。初中所学的函数图象主要有：一次函数、二次函数、反比例函数。 函数名称 解析式 正比例函数 y?kx（k?0） 0 x k?0 反比例函数 k y?（k?0）x一次函数 y?kx?b（k?0） 0 x 0 x k?0 二次函数 y?ax2?bx?c（a?0） 图 像 y y 0 x k?0 y x k?0 y y 0 x y y 0 x y 0 x k?0 k?0 a?0 a?0 图象过点（0，0） 和（1，k） 双曲线，无限接近x轴、y轴 与直线y?kx平行且过点（0，b）抛物线
☆特点提醒：自变量的取值范围、因变量的取值范围、增减性、最值问题。 （5）函数的表示方法：列表法（一般的画图方法）、解析式法（常见的表示方式）和图形法（常见的考查）。 【例3】图中是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象．若用黑点表示韩．．老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ） y Ｏ x A．
B．
C． D．
练习：如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中， (1) 请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象, 用直线段连接起来。 (2) 当容器中的水恰好达到一半高度时, 请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置。
考点3：一次函数与正比例函数
引入：一元一次方程、二元一次方程组→一次函数 1、概念及解析式：
（1）一次函数的解析式为 ； （2）自变量取值范围： ； （3）值域： ；
☆注意：一次函数与正比例函数之间的关系问题。 2、图像：
（1）一次函数和正比例函数的图像是一条 ；
（2）正比例函数图像必定经过 。 3、一次函数的性质：
当k＞0时，y随x的增大而 ，这时函数的图像从左到右 ； 当k＜0时，y随x的增大而 ，这时函数的图像从左到右 ；
当b>0时,直线与y轴交于 半轴；
当b<0时,直线与y轴交于 半轴；当b=0时，直线与y轴交于 点； 当k＞0,b＞0时，直线经过 象限；当k＞0,b＜0时，直线经过 象限； 当k＜0,b＞0时，直线经过 象限；当k＜0,b＜0时，直线经过 象限； 怎么记忆：平移规律 ☆注意：倾斜程度与k的关系
【例1】若一次函数y?kx?b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那（ ）
A．k?0，b?0 B．k?0，b?0 C．k?0，b?0 D．k?0，b?0
☆注意：画一次函数图像时，只要取两个不同点即可，一般取直线与x轴、y轴的交点，其坐标分别是
（ ， ）、( ， )
☆注意：两个一次函数，当k一样，b不一样时，其图像的位置关系是 ；当b一样，k不一样时，其图像与 轴交于同一点其坐标为( ) 练习：
1、函数y?kx?k(k?0)在直角坐标系中的图象可能是（ ）
y O
Ａ
x y O Ｂ
x y O Ｃ
x y O Ｄ
x
4、用函数的观点看方程（组）与不等式 （1）一次函数与一元一次方程：因为每一个一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a≠0，a、b是已知数）的形式，所以解一个一元一次方程都可以转化成：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。 【例2】一题讲透一次函数与一元一次方程：y?x?2与x+2=0
（2）一次函数与一元一次不等式：因为每一个一元一次不等式都可以转化成ax+b＞0或者ax+b＜0 (a≠0，a、b是已知数）的形式，所以解一个一元一次不等式都可以转化成：当某一个一次函数的值大于或者小于0时，求相应的自变量的取值范围。
【例3】一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ） A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0
yDAC2 y=k1x+b1By?kx?b
o xy=kx+b
☆一题做总结：如图，点D的纵坐标等于______；点A的横坐标是方程______的解；大于点B的横坐标是不等式______的解集；点C的坐标是方程组______的解；小于点C的横坐标是不等式______的解集。 练习：已知一次函数y?kx?b的图象如图10—1所示，当x?1时，y的取值范围是（ ） (Ａ)?2?y?0
(Ｂ)?4?y?0
(Ｃ)y??2
(Ｄ)y??4
（3）一次函数与二元一次方程（组）：一般的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，所以解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。（此知识点在二元一次方程组中已经讲过）
5、求一次函数解析式——待定系数法 ☆理解：什么是待定系数法？
B，则该一次函数的表达【例4】如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y??x的图象交于点x y y??x A 式为（ ） A．y??x?2 B．y?x?2 C．y?x?2 D．y??x?2 2 B 练习：若正比例函数y?kx（k≠0）经过点（?1，2），则该正比例函数的解析式为y?___________。 x ?1 O
☆学会看图像：
1、如上右图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象。根据图象下列结论错误的是（ ）
A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时
C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船
2、如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y（米）与时间x（天）之间的关系图象.根据图象提供的信息，可知该公路的长度是______米。
y(千米)160快艇80轮船o x(小时)2468 6、用一次函数解决实际问题—— 一次函数应用注意事项： A、函数在现实世界中普遍存在，在应用函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转 化成数学问题；
B、针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系； C、列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
【例5】2007年4月，巴中市出租车收经费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.4元，试写出乘车费用y（元）与乘车距离x（千米）（x＞3）之间的函数关系式为
。
济南中考历年部分真题
2005年
6、如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图 象l1、l2，设y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，
?y1＝k1x＋b1
则方程组? 的解是_______.
?y2＝k2x＋b2
?x＝－2?x＝－2?x＝－3?x＝－3A、? B、? C、? D、?
?y＝2?y＝3?y＝3?y＝4
22、(本题6分)如图，某种旅行帽的帽沿接有两个塑料帽带，其中一个塑料帽带上有7个等距的小圆柱体扣，另一个帽带上扎有七个等距的扣眼，下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据(单位：cm)； 1 2 3 4 5 6 7 扣眼号数(x) 帽圈直径(y) 22.92 22.60 22.28 21.96 21.64 21.32 21.00 ⑴求帽圈直径y与扣眼号数x之间的一次函数关系式； ⑵小强的头围约为68.94cm，他将第一扣扣到第4号扣眼，你认为松紧合适吗？