解： (a) npn?1r?1?n?n(n?1)!n!??(n?r)!(n?r)!pnr等式成立。
n!n!(b) (n?r?1)p?(n?r?1)???r?1(n?r?1)!(n?r)!(c) (d)
pnr等式成立。
nn?rpn?1r?n(n?1)!n!???n?r(n?r?1)!(n?r)!pnr等式成立。
p?nr?rpnr?1?n!n!n!(n?r?1)n!(n?1)!?n!?r?r?n!?r???r??(n?r)!(n?r?1)!(n?r?1)!(n?r?1)!(n?r?1)!(n?1)!?(n?1?r)!nr?1pn?1r(e)利用(d)的结论可证明本题。
r!?r(p?npn?1r?1???n?1r?1r?1r?1prr?1)p?p?p?p?rrrrr?1rp?rp?rp?rrr?1r?1r?1r?1p?rp?rp?r???r?rprr?1n?1r?1nr?1r?2r?1p???rp?rpr?1pr?2???rn?1r?1?rpnr?1
n?1r1.18题（高亮）
8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？ 解：
要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种
5而不同标志的球的排列有p5?5!
所以共有8*5！种排列。 8种排列如下两类
因为要求空盒不相邻，途中1代表球
a) 1 1 1 1
b) 1 1 1 1 在a)中 剩下的一个球有四种位置 b)中剩下的一个球也有四种位置 两者合起来一共有8种 1.19题（李拂晓）
n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n?m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。
解：
m个0进行排列，留出m+1个空挡，任选n 个空挡放1，共有C(m+1,n)种方
案.
1.20 题（孙明柱）
甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志占5人，试问有多少中方案？ 解：
1.甲单位出4个男同志，乙单位出1个男同志，从乙单位出2个女同志 C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)=141750
2. .甲单位出3个男同志，乙单位出2个男同志，从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。C(10,3)*C(15,2)*C(4.1)*C(10,1)=504000
3. .甲单位出2个男同志，乙单位出3个男同志，从甲单位出2个女同志. C(10,2)*C(15,3)*C(4,2)=122850 1+2+3即为所求，总的方案数为768600
1.21题（王健）
一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球，每次从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的，试问取第6个球是白球的概率。 解：
C（6,2）*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)C(6,3)=3/14 1.22题 （王居柱）
求图1-22中从O到P的路经数:
(a) 路径必须经过A点;
P (b) 路径必须过道路AB;
(c) 路径必须过A和C
C (d) 道路AB封锁(但
A B A,B两点开放) 解: (a)分两步走O(0,0)→A(3,2) A(3,2)→P(8,5)，根据乘法法则:
?3?2??3?5?N???2?????3???560
???? (b)分两步走O(0,0)→A(3,2),B(4,2)→P(8,5)，根据乘法法则:
?3?2??4?3?N???2?????3???350
???? （C）分三步走 O(0,0)→A(3,2), A(3,2)→C(6,3)，
C(6,3)→P(8,5)，根据乘法法则:
?3?2??3?1??2?2? N???2?????1?????2???240
?????? （d）AB封锁路径数加必经AB路径数即O(0,0)→P(8,5)的所有路径数有加法法则可得： N???5?????2?????3???1287?350?937 ??????1.23题（王振华）
令s={1,2,?,n+1},n?2,T={(x,y,z)|x,y,z∈s, x ?5?8??3?2??4?3??n?1??n?1?|T|??k2????2?? k?1?2??3?n证明：要确定x,y,z的取值，有两种方法， (1)可先确定z,由题意可得 当z=2时，x可取1，y可取1，根据乘法法则，x,y取值共有1×1=12种可能； 当z=3时，x可取1,2，y可取1,2，根据乘法法则，x,y取值共有2×2=22种可能； 当z=4时，x可取1,2,3，y可取1,2,3,根据乘法法则，x,y取值共有3×3=32种可能； ?? 当z=n+1时，x可取1,2,?,n,y可取1,2,?,n,根据乘法法则，x,y取值共有n×n=n2种可能。 根据加法法则，当z取2,3,?,n+1时，x,y取值共有1?2?…?n?n222?kk?1n2种可能。故 |T|??k2。 k?1(2)由x ①x=y ?n?1? 比较大小，小者为x(y),大者为z,其组合数为??； 2?? ②x ?n?1? ??； ?3? ③y ?n?1???。 ?3? 所以满足题意的x,y,z的组合数为? ?n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??+??+??＝???2??。 ?2??3??3??2??3??n?1??n?1?2k?????2??。证毕。 k?1?2??3?n由于这两种方法是等价的，故可得|T|?1.24题（王卓） A={(a,b)|a,b∈Z,0?a?9,0?b?5}, (a) 求x-y平面上以A作顶点的长方形的数目。 解：如图， (a,b) 从图中可以看出，对于x-y平面上满足题意的任一顶点A(a,b),除它本身以外，横坐标取值有9种可能，纵坐标取值有5种可能。顶点A(a,b)与和它不在同一水平线或垂直线上的任一点(x,y)均可构成一个长方形。故满足要求的长方形的数目为9×5=45个。 (b) 求x-y平面上以A作顶点的正方形的数目。 解：如下图，网格左边是b的取值，下面是a的取值。网格里是x-y平面上对应每个顶点A(a,b)所得的正方形的数目。 1.25题（翟聪） 平面上有15个点P1,P2。。。Ｐ15，其中P1P2P3P4P5共线，此外不存在3点共线的。 (1)求至少过15个点中两点的直线的数目 (2)求由15个点中3点组成的三角形的数目 解： 1)由题意知：P1P2P3P4P5共线，此外不存在3点共线的，所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为：5*10=50。另外十个点两两相连得直线数目为：C102=45 又因为P1P2P3P4P5共线，所以可算作一条至少2点相连的直线 所以至少过15个点中两点的直线的数目=50+45+1=96 2)由三种情况 a：没有P1P2P3P4P5这五个点的三角个数：C103=120 b：有这五个点的其中一个点：5*C102 225 c：有着五个点的两个点：10*C52=100 由15个点中3点组成的三角形的数目=425 故数目为C(15,2)-C(5,2)+1 (b) C(5,0)C(10,3)+C(5,1)C(10,2)+C(5,2)C(10,1) 1.26题（周英华） S={1,2,??，1000}，a,b∈S,使ab≡0 mod 5,求数偶{a,b}的数目 解： 根据题意，ab可以整除5， 2*C（200，1）*1000=400000 1.27 题（孔令琦） 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐， （1）女宾不相邻有多少种方案？ （2）所有女宾在一起有多少种方案？ （3）一女宾A和两位男宾相邻又有多少种方案？ 解 ： （1）若5位女宾不相邻，先考虑6位男宾围圆桌而做的方案数，然后女宾插入 Q（6，6）*6*5*4*3*2=86400 （2）把5位女宾看成一个整体，然后插入 Q（6，6）*6*P(5,5)=86400 （3）C（5，1）*C（6，2）*Q（8，8）=194000 C(5,1)*C(6,2)*C(5,2)*P(4,2)*7！ 1.28题（王丹竹） k和n都是正整数，kn位来宾围着k张圆桌而坐，试求其方案数。 解： 若每个圆桌的的人数相等，则每个桌子有n个人。因为圆周排列的个数为因此本题的结果为 prnr (kn)!(kn)!?k。 n?n?nn1.29 题（王星） 从n个对象中取个r做圆排列，求其方案数目。1<=r<=n