解：
c(n,r)*Q（r,r）
=c(n,r)*(r-1)! 1．30题（宗传玉）
（1）??r?1??， 1?r?n； ?r??=n/r?
?n????n?1??
?
（2） ??r??=（n-r+1）/r??r?1??, 1?r?n；
?n????n???(3) ??r?r??=n/(n-r)?
?n????n?1?
?? , 0?r?n； ??
解：
（1）：
??r???n!/(r!(n-r)!)
?n????n?1? n/r??r?1??=n/r*((n-1)!/((r-1)!(n-r)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式
??
所以两式相等
（2）：
??r???n!/(r!(n-r)!)
?n????n?(n-r+1)/r??r?1??=（n-r+1）/r*((n!)/((r-1)!(n-r+1)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式
??所以两式相等
（3）： ??r???n!/(r!(n-r)!)
?n???n/（n-r）??
?n?1?
?=（n-1）!/(r!(n-r-1)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式 ??r?
所以两式相等 1.31题（宗传玉）
证明：由 P（n ,r）=n*(n-1)?（n-r+1）
可知：（n+1）（n+2）?（n+r）= p（n+r,r）=c（n+r,r）* r!
所以 [（n+1）（n+2）?（n+r）]/r!= p（n+r,r）/ r!
= c（n+r,r）
故任意个相邻数连乘可被r！除尽。
1.32题（王星） 解：
满足y必须加在两个x之间应为 x y x y x 然后再把a ，b ，c ，d ，e ，f插入，a插入时有6种选择，b插入时有7种选择，c插入时有8种选择，d插入时有9种选择，e插入时有10种选择，f插入时有11种选择，由此可得排列数 N=11*10*9*8*7*6=11!/5! 1.33题（王丹竹）
已知r，n，k都是正整数，r?nk，将r个无区别的球放在n个有标志的盒子里，每盒至少k个球，试问有多少种方案？ 解：
首先从r个球中取出nk个球放入n个盒中，因为球是无区别的。因此只有一种排列方案。剩下的球，每个球放的时候都有n中可能。因此方案数为n(r-nk).
1.34 题（孔令琦）
在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列中求y居于x和z中间的排列数 解 ：
2*（5+4+3+2+1）*6！=2430
1.35题（周英华）
凸十边形的任意三条对角线不共点。试求这凸十边形的对角线相交于多少个点？
解：
根据题意，1个顶点有7条对角线，与它相邻的顶点有7条对角线，这样的点2个； 与它不相邻的顶点有6条对角线（有1条与它重复的），这样的点8个； 因此 （2* C（7，1）* C（7，1）+8* C（6，1）* C（7，1））*（9+1） =4340 1.36题（翟聪）
试证一整数是另外一整数的平方的必要条件是除尽他的数的数目是整数 证明：
设N=P1a1 P2a2。。。Pnan，P1，P2，。。。Pn是n个不同的素数，每个能整除尽数n的正整数都可以选取每个素数Pi从0到ai次，即每个素数都有ai+1种选择，所以能整除n的正整数的数目为(a1+1)(a2+1)。。。(ai+1)个。而设M=N2=P12a1 P22a2。。。Pn2an，能被(2a1+1)(2a2+1)。。。2(ai+1)个整除。所以一整数是另外一整数的平方的必要条件是除尽他的数的数目是整数。 1.37题（王卓） .给出
?n??r??n?1??r?1??n?2??r?2??n?m??r?m??n?r?1????????????????+++?+?m??0??m?1??1??m?2??2??0???m??=??m? ??????????????????的组合意义。
解： Y B（m,n+r+1-m）
P’ P(k,r)
0 k m X
如上图所示
?r?k????k?表示（0，0）点到P点的路径数； ??P点到P’点只有一步；
?n?m?m?k??n?k????m?k??表示P’点到B点的路径数; ?m?k?=??????n?r?1????m?表示（0，0）点到B点的路径数。 ??所以0点到B点的路径由0点到P点再从P点到P’点，最后从P’点到达B点。
M0?+???r?k??n?k????k?*1*??m?k??=?????0M?n??r??n?1??r?1??n?2??r?2???m????0??+??m?1????1??+??m?2????2??+??????????????n?m??r?m??n?r?1?????=? ??????0??m??m?1.38题（王振华）
?r??r?1??r?2??n??n?1?给出??r?????r?????r???????r?????r?1??的组合意义。
??????????解：
设A={a1,a2,….,an?r?1 ,……,an?1 },从A中取r+1个元素组合成C，考虑以下n-r+1种情况：
?n?（1） a1∈C，则A需要从A\\{a1}中取r个配合，构成C，共??r??种可能
??（2） a1?c，a2?c,则需要从A\\{a1,a2} 中取r-1个，加上a2构成C，共??中可能
??
(n-r)a1,a2,...,an?r?1?C，an?r?C，则需从A\\{a1,a2,...,an?r}中取r个组合，再加上
?n?1????r??r?1?
an?r构成C，共??r??种可能。
??
?r?(n?r?1)a1,a2,...,an?r?C,这时只有??r??=1种可能。
??故??r??+?+??r??+??r?1?? ?r??+??r??+??r??=?
????????????（法二）C(n+1,r+1)是指从n+1个元素a1, a2,?,an+1中任取r+1个进行组合的方案数。
左边：若一定要选an+1,则方案数为C(n,r).若不选an+1,一定要选an,则方案数为C(n-1,r).若不选an+1,an,?ar+2,则方案数为C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。 1.39 题（王居柱）
n
证明(m,0)C(m,n)+C(m,1)C(m-1,n-1)+?+C(m,n)C(m-n,0)=2C(m,n) 证明：
由公式C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r) 其中：l>=r 得： C(m,0)C(m,n)=C(m,n)C(n,0) 同理：
C(m,1)C(m-1,n-1)=C(m,n)C(n,1) ?
C(m,n)C(m-n,0)=C(m,n)C(n,n) 由上知：
左边=[C(n,0)+C(n,1)+ ? +C(n,n)]C(m,n)
由(x?y)n=C(n,0)x +C(n,1)xn?1y+C(n,2)xn?2y2+?+C(n,n)yn 令x=y=1
可得 C(n,0) +C(n,1) +C(n,2) +?+C(n,n)=2 左边=2C(m,n)=右边 命题得证。 1.40题（王健）
从n个人中选r个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？ 解：
圆排列:共有P(n,r)/r种不同的方案。 1.41 题（孙明柱）
分别写出按照字典序，有给定排列计算其对应序号的算法及有给定序号计算其对应排列的算法。 解：
利用“字典序法”生成下一排列的算法 ，计算该排列的对应序号， 生成已知排列序号算法：
设 int M为每一排列的对应序号初始时： P1_P2_...Pi-1_Pi_Pi+1_...Pn_ (其中P1_
I. 满足关系式Pj-1 n ?n??n?1??n?2??r?1??r??n?1? nnII. 满足关系式Pi-1 III. 使Pi-1与 Pj 互换得(p_) = P1_P2_...Pi-1_Pi_Pi+1_...Pn_ IV. (p_) = P1_P2_...Pi-1_Pi_Pi+1_...Pn_ 中的Pi_Pi+1_...Pn_部分的顺序逆转，得下一排列。 V. 判断(p_)排列是否与给定排列相同 ，相同则输出M， ELSE M=M+1 GOTO Ι （2）给定序列号计算排列算法： 设 Int M为每一排列的对应序号，M=N （N为给定序号） 设 Int K为循环次数 FOR （K=1；K++；K <=N ） { 满足关系式Pj-1 (p_) = P1_P2_...Pi-1_Pi_Pi+1_...Pn_ 中的Pi_Pi+1_...Pn_部分的顺序逆转，得下 一排列 } 输出(p_)排列。 1.42题（李拂晓） 1：给定排列求相应序号： 设 Int I为每一排列的对应序号 I=1 （初始化） 假定A[1：n]和E[2：n]；D[2：n]；B[1：n]都是整数数组，其中B[1：n]为给定序列