x2解法2: ∵ 双曲线C2:,2(2,0), ???????1分 ?y2?1的顶点为F1(?2,0)F2∴ 椭圆C1两焦点分别为F,2(2,0). 1(?2,0)Fx2y2设椭圆C1方程为2?2?1?a?b?0?，
ab∵ 椭圆C1过点A(?2,1)， ∴
21?2?1. ① ?????????2分 2ab. ∵ a2?b2?2, ② ?????????3分 由①②解得a2?4, b2?2.
x2y2??1. ?????????4分 ∴ 椭圆C1的方程为 42（2）解法1：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，
由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∴AQ?(x?2,y?1)，AP?(x1?2,y1?1)，
BQ?(x?2,y?1)，BP?(x1?2,y1?1).
由 AQ?AP?0, 得 (x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1)?0， ????????5分 即 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ①
同理, 由BQ?BP?0, 得 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ② ?????6分 ①?②得 (x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1). ③ ?????????7分
2222x12y12??1，得x12?4?2y12, 由于点P在椭圆C1上, 则42代入③式得 ?2(y1?1)(x?2)?(y?1)(y1?1).
当y1?1?0时，有2x?y?5，
当y1?1?0，则点P(?2,?1)或P(2,1),此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或
22222222 11
(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分
当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，
22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为
??y?2x?3,??2?. 2,?1或??2,?2?????同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?. ,2??2?∴点Q的轨迹方程为 2x2?y2?5, 除去四个点
??2?, ?2,1, 2,?1,?,?2??2???????2?. ?????????9分 ???2,2????解法2：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，
由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∵AQ?AP?0，BQ?BP?0， ∴AP?AQ，BP?BQ.
∴y1?1y?1???1x1??2，① ????????5分
x1?2x?2??
y1?1y?1???1x1?2. ② ????????6分
x1?2x?2??y2?1①?② 得 2??1. (*) ?????????7分
x1?2x2?2x12y12x122??1，得y1?2?, ∵ 点P在椭圆C1上, ∴ 42212x1y2?1?1y2?12?2?1，即?2?1, 代入(*)式得2x1?2x?22x?21? 化简得 2x?y?5.
若点P(?2,?1)或P(2,1), 此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或
22y12?1 12
(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分
当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，
22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为
??y?2x?3,??2?. 2,?1或??2,?2?????同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?. ,2??2?∴点Q的轨迹方程为 2x2?y2?5, 除去四个点
??2?, ?2,1, 2,?1,?,?2??2???????2?. ?????????9分 ???2,2????(3) 解法１：点Q?x,y?到直线AB:x?2y?0的距离为x?2y3.
x?2y122△ABQ的面积为S??????????10分 (2?2)?(?1?1)?23 ?x?2y?x2?2y2?22xy. ?????????11分
yy2y2 而22xy?2?(2x)?(时等号成立） )?4x?（当且仅当2x?222y2552?5x2?y2?∴S?x?2y?22xy?x?2y?4x?. ??12分
22222222当且仅当2x?y时, 等号成立. 2y???222x?,,?x??,?x??由?解得?22或?2 ?????????13分
?y?2,?y??2.?2x2?y2?5,???∴△ABQ的面积最大值为?2???522,2?,?2, 此时,点Q的坐标为?或.?14分 ???????2?2??2?解法２：由于AB??2?2?2???1?1??23，
2故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大． ?????????10分
13
设与直线AB平行的直线为x?2y?m?0，
由???x?2y?m?0,消去x，得5y2?42my?2c2?5?0，
22??2x?y?5,由??32m2?202m2?5?0，解得m????52． ?????????11分 2若m?252252，则y??2，x??；若m??，则y?2，x?． ?12分
2222?2???2或时，△ABQ的面积最大，其值为 ,2?,?2???2???2?????故当点Q的坐标为?S?1AB?22?2?221?2?2?2?52． ?????????14分 2
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于0?t?1，x?0，则g?x?? 当且仅当x? h?x??1?1?t?11?tx???2x??1?t， ??2?x?2x1?t，即x?1?t时，??g?x???min?1?t. ???????1分 xx2?2x?2?t??x?1?2?1?t，当x?1时，??h?x???min?1?t.
?????????2分
∵0?t?1，
1?1?t?2，0?1?t?1. ∴
2由于f?x???x?ax?bx?x?x?ax?b，结合题意，可知，
32??2 方程?x?ax?b?0的两根是1?t，1?t， ?????????3分
故1?t?1?t?a，1?t?1?t??b. ?????????4分 ∴a?2?21?t?1?t?2?2b. ∴b?1?212a. ?????????5分 214
而方程?x2?ax?b?0的一个根在区间1,2上，另一个根在区间?0,1?上. 令??x???x?ax?b，
2?????0??b?0,?? 则???1???1?a?b?0, ?????????6分
??2??2?2a?b?0.?????12?1?2a?0,?a??2或a?2,?12?? 即??1?a?1?a?0,解得?0?a?2, ?????????7分
2??12?a?2.???2?2a?1?2a?0.? ∴2?a?2. ?????????8分 ∴b?1?12a，2?a?2. 222求a的取值范围的其它解法：
另法1：由a?1?t?1?t，得a?2?21?t， ?????????6分 ∵0?t?1，
∴2?a?4． ?????????７分 ∵a?1?t?1?t?0，
∴2?a?2． ?????????8分 另法2：设??t??1?t?1?t，0?t?1， 则???t??2111?t?1?t ?????????6分 ???0，
221?t21?t21?t 故函数??t?在区间?0,1?上单调递减． ∴??t???2,2． ?????????７分
? ∴2?a?2． ?????????8分 （2）解：由（1）得f?x???x3?ax2??1???12?a?x， 2? 15