3．6 正弦定理和余弦定理
[知识梳理]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
3．三角形中常用的面积公式 1
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
2111
(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
222
1
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
24．在△ABC中，常有的结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
aa＋b－c(2)在△ABC中，＝.( )
sinAsinA＋sinB－sinC(3)若a，b，c是△ABC的三边，当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－
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a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．( )
(4)在△ABC中，若sinAsinB sin2A(1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________. sinC答案 1 解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝ b2＋c2－a225＋36－163sin2A2sinAcosA43 ＝＝，所以＝＝2××＝1. 2bc2×5×64sinCsinC64 (2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________． 答案 7 11 解析 因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsinA，所以103＝×5×8sinA，解得sinA＝ 223122222 ，因为角A为锐角，所以cosA＝.根据余弦定理，得BC＝5＋8－2×5×8cosA＝5＋8221 －2×5×8×＝49，所以BC＝7. 2 3．小题热身 (1)(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝ 120°，则AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c＝a＋b－2abcosC， 2 2 2 ?1?22 得13＝9＋b－2×3b×?－?，即b＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A. ?2? 4 (2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC55 ＝，a＝1，则b＝________. 13 答案 21 13 3123541263 解析 由已知可得sinA＝，sinC＝，则sinB＝sin(A＋C)＝×＋×＝，再51351351365631×6521ab由正弦定理可得＝?b＝＝. sinAsinB313 5 题型1 利用正、余弦定理解三角形 b (2018·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若典例13cosB＝ ，则cosB＝( ) sinA1133A．－ B. C．－ D. 2222 a边角互化法． 答案 B 解析 由正弦定理知 sinBsinAπ＝＝1，即tanB＝3，由B∈(0，π)，所以B＝， 33cosBsinAπ1 所以cosB＝cos＝.故选B. 32 典例2 (2018·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝43，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是( ) A．43 B．83 C．43或83 D.3 注意本题的多解性． 答案 C 解析 在△ABC中，由余弦定理可得AC＝4＝(43)＋BC－2×43BCcos30°， 解得BC＝4或BC＝8. 当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°， 111 △ABC的面积为AB·BCsinB＝×43×4×＝43. 222 111 当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCsinB＝×43×8×＝83.故选C. 222方法技巧 正、余弦定理在解三角形中的应用技巧 1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能够实现边角互化．见典例1. 2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2. 3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2. 冲关针对训练 1．(2017·河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)·(sinB＋sinC)，则角C等于( ) A. πππ2π B. C. D. 3643 2 2 2 2 答案 A a2＋b2－c21 解析 由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a＋b－c，∴cosC＝＝， 2ab2 2 2 2 π ∴C＝.故选A. 3 2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1 cos2A＝－，c＝3，sinA＝6sinC. 3 (1)求a的值； (2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积． 解 (1)在△ABC中，c＝3，sinA＝6sinC，由正弦定理＝，得a＝6c＝6 sinAsinC×3＝32. 12π622 (2)由cos2A＝1－2sinA＝－得，sinA＝，由0 3323则cosA＝1－sinA＝ 2 2 22ac3. 3 由余弦定理a＝b＋c－2bccosA， 化简，得b－2b－15＝0， 解得b＝5(b＝－3舍去)． 11652 所以S△ABC＝bcsinA＝×5×3×＝. 2232 2 题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状 典例 (2017·陕西模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不确定 用边角互化法． 答案 B 解析 ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，∴sin(Bπ22 ＋C)＝sinA，即sinA＝sinA.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．故 2选B. [条件探究1] 将本典例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是( ) A．直角三角形 C．等腰直角三角形 B．等腰三角形 D．等边三角形 2 答案 B 解析 解法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0， 因为－π a2＋c2－b222 由余弦定理得2a·＝c?a＝b?a＝b.故选B. 2ac[条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C 解析 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13， 故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得 a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223cosC＝＝＝－<0， 22ab2×5×11k110 ?π?又∵C∈(0，π)，∴C∈?，π?， ?2? ∴△ABC为钝角三角形．故选C. [条件探究3] 将本典例条件变为“若bcosB＋ccosC＝acosA”，试判断三角形的形状． 解 由已知得 a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2 b·＋c·＝a·， 2ac2ab2bc∴b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＝a(b＋c－a)． ∴(a＋c－b)(b＋a－c)＝0. ππ222222 ∴a＋c＝b或b＋a＝c，即B＝或C＝. 22∴△ABC为直角三角形． 方法技巧 判定三角形形状的两种常用途径 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后