3.2.2 抛物线的简单性质
[A.基础达标]
22
1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x＋y－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
22
A．y＝3x或y＝－3x
2
B．y＝3x
22
C．y＝－9x或y＝3x
22
D．y＝－3x或y＝9x
22
解析：选D.圆的方程可化为(x－1)＋(y＋3)＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物
22
线方程为y＝2px(p>0)或x＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
91122
所以p＝或p＝，所以y＝9x或x＝－y.
263
2
2．设M(x0，y0)为抛物线C：x＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据题意只要|FM|>4即可，由抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
2
3．已知抛物线y＝2px(p>0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，
y1y2
y2)，则的值一定等于( )
x1x2
A．4
2
C．p
B．－4
2
D．－p
解析：选B.当AB的斜率为k时，AB所在的直线方程为y＝k?x－?，代入y＝2px得：
?2?k2p＋2px1＋x2＝，2
22
?
p?2
k2x2－(k2p＋2p)x＋
kp4
??k＝0.根据根与系数的关系可得?pxx＝，??4
2
12
p??p?y1y2?y1y2＝k2?x1－??x2－?＝－p2，故＝－4.
2??2?x1x2?
y1y2
当AB斜率不存在时，即AB⊥x轴，易得＝－4.
x1x2
2
4．过抛物线y＝ax(a>0)的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长
11
分别是p，q，则＋等于( )
pqA．2a C．4a
1 2a4D. B.a1122
解析：选C.设直线方程为y＝kx＋，代入y＝ax，得ax－kx－＝0.
4a4a 1
??11111
由根与系数的关系可得?p＝y＋＝kx＋，q＝y＋＝kx＋，所以
4a2a4a2ap1
xx＝.??－4a1
1
2
2
12
2
kx1＋x2＝，ak2＋1a111
＋＝＋＝2＝4a. q11k＋1kx1＋kx2＋2
2a2a4a2
5．已知抛物线y＝x上有一定点A(－1，1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐
标的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[1，＋∞) C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
22
解析：选D.设P(x0，x0)，Q(x，x)，其中x0≠－1，x≠x0， →→222
则PA＝(－1－x0，1－x0)，PQ＝(x－x0，x－x0)， 因为PA⊥PQ，
→→
所以PA·PQ＝0.
222
所以－(1＋x0)(x－x0)＋(1－x0)(x－x0)＝0， 即－1＋(1－x0)(x＋x0)＝0，
1
所以x＝－x0＋ 1－x01
＝(1－x0)＋－1，
1－x0
1
当x0<1时，1－x0＋≥2，当且仅当x0＝0时，等号成立．
1－x0
所以x≥2－1＝1；
1
当x0>1时，1－x0＋
1－x01
＝－[(x0－1)＋]≤－2，当且仅当x0＝2时，等号成立，
x0－1
所以x≤－2－1＝－3，
故点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
2
6．将两个顶点在抛物线y＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则n＝________．
解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点且与x轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．
答案：2
→→2
7．已知点A、B是抛物线y＝4x上的两点，O是坐标原点，OA·OB＝0，直线AB交x→
轴于点C，则|OC|＝________．
?y1??y2?解析：设A、B的坐标分别为?，y1?、?，y2?， ?4??4?
y1y2→→
因为OA·OB＝0，所以·＋y1y2＝0，
44
y2－y1y24y211
即y1y2＝－16.AB所在的直线方程为y－y1＝22(x－)＝(x－)，
y2y14y1＋y24
4
－y1y2－y1y1－y1y2
令y＝0，得x＝＋＝＝4.
444
答案：4
2
2
2
2
2
22
－4
8．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝3|FB|，则k的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0. ?y＝k（x－2），?由?2 ?y＝8x，?2222
得kx－(4k＋8)x＋4k＝0， 所以x1x2＝4.① 又|AF|＝x1＋2，
|BF|＝x2＋2且|AF|＝3|FB|， 所以x1＝3x2＋4，②
2
由①②解得x2＝，
3
243
所以B(，－)，代入y＝k(x－2)得k＝3.
33
答案：3
2
9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．
解：(1)因为|MF|＝3＋＝5，所以p＝4，
22
所以抛物线方程为y＝8x.
(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，
??y＝k（x－2），2222
联立?2得kx－(4k＋8)x＋4k＝0，
?y＝8x，?
24k由根与系数的关系得xM·xN＝2＝4，
2
pk4
因为xM＝3，所以xN＝.
3
46
因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图像可知yN<0.所以yN＝－2pxN＝－，
3446
所以N(，－)．
33
10．已知动点M到点(4，0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离多1. (1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．
解：(1)由题意易知，动点M到点(4，0)的距离与到直线x＝－4的距离相等，故M点的
2
轨迹为以(4，0)为焦点，x＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y＝16x.
3
(2)设直线与抛物线的交点为A，B，直线AB的方程为y－0＝ (x－4)，
3
即y＝
343x－， 33
??y＝3x－43，2
33将直线方程与抛物线方程联立?得x－56x＋16＝0， ??y2＝16x，
故xA＋xB＝56，
|AB|＝xA＋xB＋p＝56＋8＝64.
[B.能力提升]
3
1．已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－4y－5＝0相切，则p的值为( ) A．10 B．6 11C. D. 824
1222
解析：选C.抛物线方程可化为x＝y(p>0)，由于圆x＋(y－2)＝9与抛物线的准线y2p111＝－相切，所以3－2＝，所以p＝. 8p8p8
→→→→2
2．如图，F为抛物线y＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( )
222
→→A．6 C．3 B．4 D．2
解析：选A.设A，B，C三点的横坐标分别为xA，xB，xC由FA＋FB＋FC＝0得xA＋xB＋xC
＝3，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋＋xB＋＋xC＋＝3＋3＝6.
222
2
3．已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满
3
足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝____________．
2
解析：过点N作准线的垂线交准线于点N1，则
|NN1||NF|3π
cos ∠NMF＝cos ∠N1NM＝＝＝，故∠NMF＝.
|MN||MN|26
→→→→→→ppp
π
答案： 6
→→2
4．已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足AF＝2FB.若点
|TA|?1?T?－，0?，则的值为____________． |TB|?2?
→→
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，因为AF＝2FB，所以AB是过焦点F的直11k22222
线，F(，0)，故AB的直线方程为y＝k(x－)，代入y＝2x，整理得：kx－(k＋2)x＋＝
224
2
k＋21
x1＋x2＝2，x1＋k21→→
0，由根与系数的关系得由AF＝2FB得＝2，即x1＝2x2＋，
121
x2＋x1x2＝，24
??
???
4
12|TA|
得：A(1，2)，B(，－)，所以＝42|TB|
122
（1＋）＋（2）
2
11222（＋）＋（）422
＝2.
答案：2
5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
2
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px(p>0)．
2
因为点P(1，2)在抛物线上，所以2＝2p×1，解得p＝2.
2
所以所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1.
y1－2y2－2
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝，kPB＝，
x1－1x2－1
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在
2??y1＝4x1，①
抛物线上，得?2
?y＝4x，②22?y1－2y2－2所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.
1212y1－1y2－144
由①－②得直线AB的斜率为－1. 6．(选做题)已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．
解：依题设抛物线C的方程可写为y＝2px(p>0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y＝kx(k≠0)，①
1
设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线A′A的方程为y＝－(x2
k＋1)，②
由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为?－
?21，－2k?.
k＋1??k＋1?
又M为AA′的中点，
从而点A′的横坐标为xA′＝
1?k2－1?2?－2?＋1＝2，
k＋1?k＋1?
2k?－k?纵坐标为yA′＝2?2?＋0＝－2.③ k＋1?k＋1?
2
16k8（k－1）
同理得点B′的横、纵坐标分别为xB′＝2，yB′＝.④
k＋1k2＋1
2
又A′，B′均在抛物线y＝2px(p>0)上，
2k?2k2－1?由③得?－2?＝2p·2，
k＋1?k＋1?
5
2
由此知k≠±1，即p＝2kk4－1
.⑤
同理由④得
?2?8（k－1）??216k2（k2－1）2k2＋1??
＝2p·k2＋1即p＝（k2＋1）k. 从而2k22（k2－1）2k4－1＝（k2＋1）k，
整理得k2
－k－1＝0，
解得k1＋51－5
1＝2，k2＝2.
但当k＝1－52时，由③知x5
A′＝－5
<0，
这与点A′在抛物线y2
＝2px(p>0)上矛盾，故舍去k1－5
2＝2
. 所以k＝1＋51＋2，则直线l的方程为y＝5
2x.
将k＝1＋525
2代入⑤，求得p＝5. 所以直线方程为y＝1＋5
2x.
抛物线方程为y2
＝455
x.
6