考点跟踪突破24 矩形、菱形与正方形
一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(2015·沈阳)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( B ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．(2015·青岛)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )
A．4 B．46 C．47 D．28
解析：∵E、F分别是AB、BC边上的中点，∴AC＝2EF＝23.∵菱形ABCD的对11
角线AC、BD相交于点O，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝2，AC⊥BD.∴在Rt△AOB
22中，AB＝OA2＋OB2＝（3）2＋22＝7，∴菱形ABCD的周长为47
,第2题图) ,第4题图)
3．(2014·呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于
点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于点E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( B )
A．△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等 B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cm C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cm
D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定
4．(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( B )
A．n B．n－1 C．()n－1 D.n
二、填空题(每小题7分，共28分)
5．(2014·凉山州)顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__菱形__．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花园的面积为__24_m2__．
6．(2014·毕节)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__30__度．
1414
7．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为__20__．
解析：N是BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证11
EN∥MC，NF∥ME，EN＝MC，FN＝MB.又MB＝MC，∴四边形ENFM是菱形．由
22M是AD的中点，AD＝12得AM＝6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM＝10.∵E是BM
的中点，∴EM＝5，∴四边形ENFM的周长为20
,第7题图) ,第8题图)
8．(2015·安顺)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为__17．
解析：作点E关于直线AC的对称点E′，则BE＝DE′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD－DE′－CG＝CD－BE－BF＝4－1－2＝1，GF＝4，∴E′F＝FG2＋E′G2＝42＋12＝17
三、解答题(共48分)
9．(12分)(2015·北京)在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若CF＝3，，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即 DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB, 即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形 (2)∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝32＋42＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5.∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA.又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB
10．(12分)(2014·临夏)点D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由．)
1
(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，同理，
21
GF∥BC，且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形
2(2)解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形
11．(12分)(2014·梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF
(2)解：GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD
12．(12分)(2015·荆州)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.
(1)证明：PC＝PE； (2)求∠CPE的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，
错误!∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE
(2)解：由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝
PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°
(3)解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，错误!∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE
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1．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于( C )
A．20° B．25° C．65° D．70°
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，AM
DN，若四边形MBND是菱形，则等于( C )
MD
3234A. B. C. D. 8355
解析：设AB＝1，则AD＝2，因为四边形MBND是菱形，所以MB＝MD，又因为矩形ABCD，所以∠A＝90°，设AM＝x，则MB＝2－x，由勾股定理得AB2＋AM2＝MB2，3
335AM43222
所以x＋1＝(2－x)，解得x＝，所以MD＝2－＝，＝＝，故选C
444MD55
4