高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体
几何 综合测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1. 若非空集合S?{1,2,3,4,5}，且若a?S，则必有6?a?S，则所有满足上述条件的集合S共有
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
a1b1c1?? 2. 命题P：若函数f?x?有反函数，则f?x?为单调函数；命题Q：
a2b2c222是不等式a1x?b1x?c1?0与a2x?b2x?c2?0(a1，a2，b1，b2，c1，c2均不为零)同解的充要条件，则以下是真命
题的为
A．?P且Q B．P且Q C．?P或Q D．P或Q
3. 若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a?
A．
1122 B． C． D．
42424. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中?ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 A. 3
B. 3 2 C. 3
2
D. 3
俯视图主视图左视图
5. 已知函数f(x)?x2?bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x?2y?2?0平行，若数列{为Sn, 则S2012的值为
1}的前n项和f(n)2009201020112012 B． C． D． 20102011201220136. 若f(a)?(3m?1)a?b?2m，当m?[0,1]时，f(a)?1恒成立，则a?b的最大值为
A．
2715 B． C． D． 3333????????C三点共线的充要条件为 7. 已知a、b是不共线的向量，AB??a?b，AC?a??b(?，??R)，那么A、B、A．
A．???1 B．????1 C．????1 D．????2
8. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（DB?DC?2DA)?(AB?AC)?0,则?ABC的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9. 设函数f(x)?ex(sinx?cosx)(0?x?2011?),则函数f(x)的各极大值之和为
e?(1－e2012?)A.
1－e2?e?(1－e1006?) B.
1－e?e?(1－e1006?)e?(1－e2010?)C. D.
1－e2?1－e2?10. y?f?x?的定义域为R，且f?2?x??f?2?x?,f?7?x??f?7?x?在?0,7?上只有f?1??f?3??0，则f?x?在
[?2012,2012]上的零点个数为
A．403 B．402 C．806 D．805
?111. 函数f(x)?2?x?2x的反函数为f A．(?(x)，则使不等式f?1(x)?2成立的x的取值范围为
1515,0) D． (??,?) 441?x?,x?0?3212. 已知函数f(x)?x?3x?1，g(x)??，关于方程g?4x?f?x????a?0（a为正实数）的根的叙
??x2?6x?8,x?0?C．(?1515,??) B．[0,) 44
述有下列四个命题 ①存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根； 其中真命题的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．
13. 定义在R上的函数y?f(x)是减函数，且函数y?f(x?1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s,t满足不等式
tf(s2?2s)??f(2t?t2)，则当1?s?4时，的取值范围 ．
s14. 已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1?1,a4?3,S3?9，设
bn?2nan,则b1?b2???bn的结果为 ．
15. 已知正项数列?an?(n?N*,an?0)的前n项和Sn满足：2Sn?an?1；设bn??2an?39，则数列bn的前n项
和的最大值为___________．
16. 如图，直线l?平面?，垂足为O，已知长方体
??ABCD?A1BC11D1中，
件的自由运动：（1）A?l;为 . 程书写在答题纸上，并写
AA?6,AD?该长方体做符合以下条81?5,AB（2）C??,则C1,O两点间的最大距离三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过
出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）已知集合A?xx?px?15?0，
?2?B?xx2?5x?q?0，A?B??2,3,5?，A?B??3?，求集合A和B.
18. （本题满分12分）设数列?an?的前n项和为Sn,a1?2,点(Sn?1, Sn)在直线nx?(n?1)y?n?n(n?N)
2*??上.a1=2
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设Tn?SnS4?n?1?2,证明：?T1?T2?T3???Tn?3.
3Sn?1Sn19. （本题满分12分）
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin(???)?sin?cos??cos?sin?------①
sin(???)?sin?cos??cos?sin?------②
由①+② 得sin??????sin??????2sin?cos?------③
A?BA?B,?? 22A?BA?Bcos代入③得 sinA?sinB?2sin. 22令????A,????B 有?? (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
cosA?cosB??2sinA?BA?Bsin； 22 (Ⅱ)若?ABC的三个内角A,B,C满足cos2A?cos2B?1?cos2C,试判断?ABC的形状.(提示:如果需要，也可
以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
20. （本题满分12分）如图，在三棱锥P?ABC中，
PPA?PB?PC?AC?4,AB?BC?22.
（1）求证：平面ABC⊥平面APC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角
弦值为
A C
C
第20题图
B
M?PA?C的余
22，求BM的最小值. 321. （本题满分12分）已知正数数列{an}和{bn}满足：对
任意
n，
an,bn,an?1成等差数列，且总有an?1?bn?bn?1成立．
（1）判断数列
?b?是否为等差数列；
n
（2）若a1?1,b1?2,a2?3,求数列{an}和{bn}的通项公式．
22. （本题满分12分）已知函数f(x)?x2?2x, g(x)是R上的奇函数，且当x?(??,0]时，g(x)?f(x)?x2． （Ⅰ）求函数g(x)在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数h(x)?x[g(x)??f(x)?2]在(0,??)上是增函数，且??0，求?的取值范围．
1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA
3试题答案