计数原理，概率与统计，随机变量分布列
一、 考点回放： 1. 分类加法计数原理 分布乘法计数原理
概率 统计
? 排列问题 组合问题 1.）互斥事件，对立事件的概率
2.）古典概型，几何概型
3.）n次独立重复试验（二项分布） 4.）超几何分布，了解正态分布
5.）概率分布列，数学期望，方差
2．
1） 用图分析：频率分布条形图，频率分布直方图，茎叶图，折线图 2） 用数据分析：平均数，方差，众数，中位数， 3） 回归方程：了解过定点（x，y）。
二、 命题规律特点：本部分考查基本是一小题一大题，古典概型几何概型，大
题以求概率分布列为主，统计重点放在频率分布直方图的考查，兼考方差、中位数、平均数等。 三、 典型方法思想及常见技巧
1. 排列组合：分好类至关重要（包括元素，情形）特殊优先法，树图法，捆绑
法，插空法等，做到数形结合，分类讨论。
2. 分清事件所属类别：古典，几何，超几何，n次独立重复试验 四、 易错公式，易忽视的方法，易失分点：
1
1. 分不清是排列还是组合问题，分不清有无顺序？ 2. 计算概率时用组合数相除还是用概率相乘？ 3. 分不清类别，到底有几类相加？ 五、考试要求 1.概率
（1）事件与概率：了解两个互斥事件的概率加法公式 （2）古典概型
① 理解古典概型及其概率计算公式．
② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型
① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ② 了解几何概型的意义． （4）概率（仅理科）
① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． ② 理解超几何分布并能进行简单的应用．
③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及
二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随
机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 2.统计 （1）随机抽样
会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计
① 会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各
自的特点.
②会计算数据标准差．
③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的
解释．
2
④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基
本数字特征,理解用样本估计总体的思想．
⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性
① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归
方程． 3.统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用 六．知识方法与技巧 （一）.随机事件的概率
1、事件的分类： 2、概率定义：.
3、等可能性事件的概率：事件A的概率P(A)=
m. n[例题]将三个不同的小球随意放入4个不同的盒子中，求3个小球恰好在3个
3不同盒子中的概率.(P(A)=3?)
84（二）、互斥事件有一个发生的概率
1、互斥事件，对立事件定义 2、互斥事件的充要条件
A、B互斥?P(A+B)=P(A)+P(B)
A1,A2,?,An彼此互斥?P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).
3、对立事件的概率：P(A)+P(A)=P(A+A)=1 ∴P(A)=1－P(A). [注意] ①互斥事件是对立事件的必要不充分条件； ②如果A、B互斥，则A与B，A与B，A与B不一定互斥； ③把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏； ④计算稍复杂事件的概率通常有两种方法： a.将所求事件化成彼此互斥事件和；
b.先去求事件的对立事件概率，然后再求所求事件概率.
3
3A4[例题]从一副扑克牌（52张）抽出1张，放回后重新洗牌，再抽出1张，前后
11C13C131两次所抽的牌为同花的概率.(P=×4=)
4522（三）、相互独立事件同时发生的概率
（1）相互独立事件定义.
⑵两个相互独立事件的充要条件：A、B相互独立?P(A·B)=P(A)·P(B). ⑶独立重复试验：如果一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重
kkn－k
复试验中这个事件恰好发生K次的概率是Pn(k)=CnP (1－P).
[注意]①如果A、B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也是相互独立的。 ②独立重复试验应满足条件：a.每次试验之间是相互独立的；b.试验结果只有发生与不发生两种之一；c.每次试验过程重复，且发生的机会是均等的. [例题]某人向某个目标射击，直至击中为止，每次射击击中目标的概率为求在第n次才击中目标的概率并证明，这样无限继续下去，目标迟早被击中.
1，31n－11)·()，??，如此下去， 3321?()n1212212n－1113→1. 得P=+×+()×+?+()·＝·
2333333331?3略解：第n次才击中目标，Pn=(1－
（四）、几何槪型
1．定义：如果事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成正比，则称这样的概率模型为几何模型。 2. 公式：P(A)?构成事件A的区域长度（面积、体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积）（五）、条件概率
1.条件概率的定义：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。用符号P(B|A)表示。
2．条件概率公式：P(B|A)?P(AB)(P(A)?0)
P(A)注：1°一般的概率乘法公式：P(A?B)?P(A)?P(B|A)
2°求条件概率的方法：
n(AB)①用公式：P(B|A)?P(AB) ②依据：P(B|A)?
n(A)P(A)（六）、几个重要分布
1.两点分布：若随机变量X的分布列为两点分布列，则X服从两点分布。
4
两点分布列 ? 0 1
P 1?p p
2.二项分布：如果在一次随机试验中，某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件发生的次数?是一个随机变量，并且P(??k)?Cnpq（其
kkn?k中q?1?p，0?p?1，k?1，2，3?，n），则称这样的随机变量服从参数为n和p的二项分布，记为：?~B(n,p)，其分布列为：
? 00 0nP Cnpq 1 11n?1Cnpq ? ? k ? n nn0kkn?kCnpq ? Cnpq
3.超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品
kn?kCMCN?M，的概率为P(X?k)?nCNk?0,1,2?m其中m?min{M,n，}且
n?N，M?N，n,M,N?N?。则称分布列
为
? ? 0 k ? m 1
mn?m1n?10nkn?k CCCCMCNCCMN?MMCN?M?MMN?M ? ? P Cnnnn CCCNNNN
超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布列。 （七）、离散型随机变量的分布列及期望与方差 求离散型随机变量的概率分布的步骤：
①设出随机变量，定出随机变量?的所有可能值②求出随机变量?取各值的概率P(??xi)=
xi；
pi；
③列出表格。
4.离散型随机变量的期望与方差
（1）期望与方差的定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
? x1 x2 ? xi ? P p1 p2 ? pi ?
则称E??x1p1?x2p2???xipi???xnpn为?的数学期望或均值，简称为期望。 一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
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