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浙江海洋学院 2009 - 2010 学年第 一 学期 《 概率论与数理统计 》课程期末考试A卷
（适用班级A08电信1、2，海科1、2，计算机、物理，储运1、2，海渔，环科，生科，建环1、2，养殖，资环，机械1、2，船舶1、2，轮机1、2，电气1、2，航海1、2，食安，食工，土木1、2 ）
考试时间：120 分钟
一 二 三 四 总分 一、判断题（共10分，每小题2分）
1. 概率为零的事件一定是不可能事件． ( ) 2. 对某目标进行独立射击，每次命中的概率都为p，直到射中为止，则射击次 数X的分布律为P{X?k}?(1?p)kp(k?1,2,)． ( ) 3. 随机变量X和Y相互独立，则X和Y不相关． ( ) 4. 设X~N(10,?2)，则随?的增大P{|X?10|??}将会单调递增． ( ) 5. 设总体X方差为?2，X21,,Xn是来自总体X的样本，则样本方差S2是?的
无偏估量． ( )
二、选择题（共15分，每小题3分）
6. 设A和B是两个概率不为零的互不相容的随机事件，则下列结论一定正确的是 ( )
(A) A与B互不相容 (B) A与B相容 (C) P(AB)?P(A)P(B) (D) P(A?B)?P(A) 7. 已知随机变量X的分布律为，
X 0 1 2 p 0.2 0.3 0.5 F(x)是X的分布函数，则F(1)?( )
(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.5 (D) 1
1
8. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?应为( )
(A) e (B) e (C) e?2 (D) e2 9. 设总体X~N??,?2?，其中?2已知，但?未知，而X1,X2,简单随机样本，则下列选项中不是统计量的是( )
1n1n1n2(A) ?Xi (B) ??Xi??? (C) Xi?X?ni?1ni?1n?1i?112?12A2kk!(k?0,1,2,)，则常数A,Xn为它的一个
X?3??2 (D)?n 10. 设随机变量X~t(n)?n?1?，Y?X2则 ( )
(A) Y~?2?n? (B) Y~?2?n?1? (C) Y~F?n,1? (D)Y~F?1,n?
三、填空题（共15分，每小题3分）
11. 设A、B为随机事件，P(A)?0.6，P(A?B)?0.2，则P(AB)?________． 12. 设X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别是FX(x)，FY(y) 则Z?min{X,Y}的分布函数是_______________．
13. 已知随机变量X~?(2)，由切比雪夫不等式，有P{|X?2|?4}?________． 14. 若X~U(?1,1)，Y~N(1,4)，则E(2X?2Y2)?_______________． 15. 已知D(X)?25，D(Y)?36，?XY?0.4，则D(2X?Y)?_______________．
四、计算题（共60分）
16. (10分)在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%和40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%和2%，现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲生产的概率是多少？
2
17. (15分)设随机变量(X,Y)的概率密度为
?2xy?cx?,0?x?1,0?y?2, f(x,y)??3?其他.?0,求：(1) 求常数c； (2) (X,Y)的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立；
(3) 求P{(X,Y)?D}，其中D为曲线y?2x2与曲线y?2x所围区域．
18. (15分)设总体X的概率密度为
?(??1)x?,0?x?1, f(x,?)??其他.?0,其中???1是未知参数，X1,X2,估计量和极大似然估计量．
,Xn是来自X的样本，试求参数?的矩
3
19. (10分)从某厂生产的一种小球中随机抽取7个，测得它们的直径（单位：cm）为
5.52， 5.41， 5.18， 5.32， 5.64， 5.22，5.76．
若小球的直径服从正态分布N(?,?2)，求这种小球平均直径?的置信度为95%的置信区间（Z0.025?1.96，t0.025(6)?2.45，t0.025(7)?2.36）． (1) 由以往的经验知??0.16； (2) ?2未知．
20. (10分)某厂生产某种型号电池，其寿命长期以来服从方差为?2?1600h2的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得s2?2500h2，问在显著性水平??0.05下，这批电池寿命的波动性较以往有无显著变化？ 即假设检验
H0:?2?1600； H1:?2?1600
（已知?20.975(24)?39.364，?20.025(24)?12.401，?20.05(24)?36.415，
?20.95(24)?13.848，t0.025(24)?2.0639）．
4
浙江海洋学院 2009 - 2010 学年第 一 学期
《 概率论与数理统计 》课程期末考试A卷答案及评分标准
一、判断题（共10分，每小题2分） 1 × 2 × 3 √ 4 × 5 √ 二、选择题（共15分，每小题3分） 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D 三、填空题（共15分，每小题3分） 11 0.6
四、计算题（共60分）
16. (10分)
解：设 A：“取出的是不合格品”， B1：“取出的产品由甲厂生产”，
B2：“取出的产品由乙厂生产”， B3：“取出的产品由丙厂生产”， 则所求概率为
P(A|B1)P(B1) …………… (5分) P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3)0.25?0.0525??0.362 ………….. (5分) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.40?0.0269
17. (15分)解：
????12xy21(1) 1???f(x,y)dxdy??[?(cx2?)dy]dx?c?，因此c?1．…… (2分)
????00333?22xy?22x??(x?)dy0?x?1,0?x?1,??2x?(2) fX(x)??f(x,y)dy???0. (3分) ?33?????0其他，其他，??012 1-[1-FX(z)][FY(z)] 13 1/8 14 10 15 88 ?12xy?11??0(x?)dx0?y?2,??y0?y?2, ……. (3分) fY(y)??f(x,y)dx????363????0其他，其他，??0f(x,y)?fX(x)fY(y)，因此X与Y不相互独立． …………………………(2分)
12xxy7(3) P{(X,Y)?D}??[?2(x2?)dy]dx?．……………………………… (5分)
02x345??5
18. (15分) 解： (1) E(X)??????xf(x,?)dx??x(??1)x?dx?01??1，A1?X． ??2??12X?1?矩??X ，由此得?的矩估计量为：?．…... (6分)
??21?X(2) 似然函数为：L(x1,x2,....,xn,?)?(??1)n?(x1x2....xn)?,0?xi?1,???1
ndnlnL(?)?nln(??1)??ln(x1.....xn)，令：lnL(?)???lnxi?0．
d?a?1i?1nn???n?L??n?1，从而??1． …………………..(9分) 由此解得：??lnxi?lnXi令E(X)?X,即i?1i?119. (10分) 解：
(1) ?已知?的置信区间为(X?z?2?0n,X?z?2?0n),
?0?0.16，x?(5.52?x?Z?17?5.76)?5.44，n?7，??0.05，Z??Z0.025?1.96，
2?0.160.16?5.32，x?Z?0?5.44?1.96??5.56，
n7n722因此，这种小球平均直径?的置信度为95%的置信区间为(5.32,5.56)．….. (5分)
?0?5.44?1.96?(2) ?2未知, ?的置信区间为(X?t?(n?1)2?0n,X?t?(n?1)2?0n),
s?0.22，t?(n?1)?t0.025(6)?2.45，
20.220.22?5.24，x?t?(n?1)?5.44?2.45??5.64， 7722因此，这种小球平均直径?的置信度为95%的置信区间为(5.24,5.64)．…...(5分) x?t?(n?1)?5.44?2.45?20. (10分) 解：
H0:??1600;H1:??1600，检验统计量??222(n?1)S2?02?2的拒绝域为{?2??21??/2(n?1)}{?2??2?/2(n?1)}，…………………… (3分) s2?2500h2，?02?1600h2，n?25，??0.05，
，
??2(n?1)S2?02?24?2500?37.5，
1600 ?21??/2(n?1)??20.975(24)?39.364，
?2?/2(n?1)??20.025(24)?12.401，
所以 12.401??2?39.364， …………………………………………….… (5分) 故接受H0，即电池的波动性较以往无明显变化．……………………….….. (2分)
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