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二、 排列数
一般地，对于m?n的情况，排列数公式变为Pnn?n（?n?1）（?n?2）???3?2?1． 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!，读做n的阶乘，则Pnn还可以写为：Pnn?n!，其中
n!?n（?n?1）（?n?2）????3?2?1 ．
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．
三、 组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．
一般地，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从n个不同元素中取出m个元素(m?n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取
m出m个不同元素的组合数．记作Cn．
一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pnm可分成以下两步：
m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法； m 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pm种排法．
mmm根据乘法原理，得到Pn?Cn?Pm． m因此，组合数Cn?PnmmPm?n（?n?1）（?n?2)??（?n?m?1）．
m（?m?1）（?m?2）???3?2?1这个公式就是组合数公式．
四、 组合数的重要性质
mn?m一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(m?n) ?Cn数学精品
m这个公式的直观意义是：Cn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方n?m法．Cn表示从n个元素中取出(n?m)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元
素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(n?m)个元素的分组方法．
例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即
32． C5?C5n0规定Cn?1，Cn?1．
五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一
般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．
在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．
六、
使用插板法一般有如下三种类型：
⑴ m个人分n个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成
一排，在其中的
(n?1)个空隙中放上
(m?1)m?1Cn个插板，所以分法的数目为?1．
⑵ m个人分n个东西，要求每个人至少有a个．这个时候，我们先发给每个人(a?1)个，
还剩下[n?m(a?1)] 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以
m?1了．所以分法的数目为Cn?m(a?1)?1．
⑶ m个人分n个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了(n?m)个，因此分法
m?1的数目为Cn?m?1．
例题精讲
【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧
挨着排在正中间有多少种不同的排法？
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【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？
【例 2】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请
问共有多少种不同的排列方法？
【巩固】 6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A，B两人必须相邻，一共有多少种
不同的站法？若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？
【例 3】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起
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排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？
【巩固】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品
组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
【例 4】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？
【巩固】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？
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【例 5】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：
⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排
节目的顺序？
【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节
目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？