·· 66 理论力学 y M O B ?M A R ? O R x
图 6.32 图 6.33 A s
6-3 在半径为R的铁圈上套一小环，另一直杆AB穿入小环M，并绕铁圈上的A轴逆时针转动???t (??常数)，铁圈固定不动，如图6.33所示。试分别用直角坐标法和自然坐标法写出小环M的运动方程，并求其速度和加速度。 解：(1) 应用直角坐标法，点M的运动方程为 x?Rcos2?t，y?Rsin2?t 其速度可表示为
vx? 其加速度可表示为
ax?dvydvx??4R?2sin2?t ??4R?2cos2?t，ay?dtdtdxdy??2R?sin2?t，vy??2R?cos2?t dtdt (2) 应用自然坐标法，点M的运动方程为
s?2R??2R?t
其速度可表示为
v?ds?2R? dt其加速度可表示为
a??dvv2?0，an??4R?2 dtR6-4 椭圆规尺BC长为2l，曲柄OA长为l，A为BC的中点，M为在BC上一点且MA = b，如图6.34所示。曲柄OA以等角速度?绕O轴转动，当运动开始时，曲柄OA在铅垂位置。求点M的运动方程和轨迹。 解：应用直角坐标法，点M的运动方程为
xM?(l?b)sin?t，yM?(l?b)cos?t 其轨迹可表示为
2xM2yM(l?b)2?(l?b)2?1
6-5 如图6.35所示，AB长为l，以等角速度?绕点B转动，其转动方程???t。而与杆连接的滑块B按规律s?a?bsin?t沿水平作谐振动，其中a和b均为常数，求A点的轨
·66·
第6章 运动学基础 ·67· 迹。
解：应用直角坐标法，点A的运动方程为
x?a?bsin?t?lsin?t，y??lcos?t 其轨迹可表示为
y B l y (x?a)2(b?l)2?y2l2?1
B O x A M O ? b l ? x
C 图6.34 图6.35
A
6-6 曲柄滑块机构如图6.36所示，曲柄OA长为r，连杆AB长为l，滑道与曲柄轴的高度相差h。已知曲柄的运动规律为???t，?是常量，试求滑块B的运动方程。
b y O ? r A l B A O x C ? h x u
图6.36 图 6.37
解：建立如图所示的坐标系，应用直角坐标法，滑块B的运动方程为
x xB?rcos?t?l2?(rsin?t?h)2，yB??h
6-7 如图6.37所示，滑块C由绕过定滑轮A的绳索牵引而沿铅直导轨上升，滑块中心到导轨的水平距离AO = b。设将绳索的自由端以匀速度u拉动，试求重物C的速度和加速度分别与距离OC = x间的关系式。不计滑轮尺寸。
解：建立如图所示的坐标系，应用直角坐标法，滑块C的速度和加速度分别可表示为
v?dxdv，a? dtdt·67·
·· 68 理论力学 由题意，可知
db2?x2 ??u
dtxdx即??u，这样，有
22dtb?xv?dxu2??b?x2 dtx上式两边同时对时间求导数，有
dvu2b2a???3
dtx6-8 机构如图6.38所示，曲杆CB以匀角速度?绕C轴转动，其转动方程为???t，通过滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。已知OC = h，CB = r，求摇杆的转动方程。
解：由图可知
tan??rsin?t
h?rcos?trsin?t
h?rcos?t故摇杆的转动方程为
??arctan6-9 摇筛机构如图6.39所示，已知O1A = O2B = 40cm，O1O2 = AB，杆O1A按1???sintrad规律摆动。求当t = 0s和t = 2s时，筛面中点M的速度和加速度。
24解：由题可知，筛子作平动，筛面中点M的速度和加速度和A点或B点的速度和加速度相同。A点按自然坐标表示，其运动方程为 s?O1A???20sin?4其速度和加速度只须分别对上式取一阶和二阶导数，即、
ds? vM??5?cost
dt42vM25?2dv5?2?n2??aM??cost，aM???sint
O1A404dt44当t?0s时，有vM当t?2s时，有vM
t
25?2?15.7cm/??6.17cm/s2，a?M?0
405?2n??0，aM?0，aM????12.3cm/s2
4ns，aM·68·
第6章 运动学基础 ·69·
C ? A
A B M B ? h ?错误！未找到引用源。
O 图6-39
图6-38
O1 ???O2
6-10 如图6.40所示的摇杆机构，初始时摇杆的转角??0，摇杆的长OC = a，距离
?OB = l。滑杆AB以等速v向上运动，试建立摇杆上点C的运动方程，并求此点在??时
4的速度。
解：由图可知，C的坐标xC、yC可分别表示为
l2?(vt)2lvt ??xCyCa即点C的运动方程可表示为
xC?all?(vt)22，yC?avtl?(vt)22
vCx
dxCdyCalv2tavl2???2?2，vCy? dtdt[l?(vt)2]3/2[l?(vt)2]3/2当??
avav?
时，有vt?l，即vCx??，vCy?，即 422l22lav22 vC?vCx?vCy?2l6-11 如图6.41所示，偏心凸轮半径为R，绕O轴转动，转角???t(?为常量)，偏心
距OC = e，凸轮带动顶杆AB沿铅直线做往复运动，试求顶杆的运动方程和速度。 解：顶杆作平动，顶杆运动可用顶杆上任一点（如A点）的运动来表示。建立如图所示的直角坐标系。应用直角坐标法，A点的运动方程为
y?esin??R2?e2cos2??esin?t?R2?e2cos2?t
对上式求一阶导数，可得到其速度
dyesin2?t?e?[cos?t?] v?222dt2R?ecos?t·69·
·· 70 理论力学 y C a A v y B A R C O O ? l B x ? x 图6.40 图6.41
6-12 如图6.42所示为曲柄滑杆机构，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径R = 0.1m，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA = 0.1m，以等角速度??4rad/s绕O轴转动。求导杆BC的运动规律及当曲柄与水平线间的夹角??45?时，导杆BC的运动速度和加速度。
解：导杆BC作平动，其运动方程可用其上任一点（如O1点）的运动方程来表示。为了方便，不妨假设在运动的初始时刻曲柄处于水平向右的位置。以O点为原点，通过O点的水平轴为x轴，O1点的运动方程为
x?0.1cos??0.1cos??0.2cos4t
对上式分别对时间求一阶和二阶导数，可得导杆BC运动的速度和加速度分别为
dxdv v???0.8sin4t，a???3.2cos4t
dtdt当??4t?45?时，有v??0.8sin45o??0.566m/s，a??3.2cos45o??2.263m/s2
6-13 如图6.43所示，滑块以等速v0沿水平向右移动，通过滑块销钉B带动摇杆OA绕O轴转动。开始时，销钉在B0处，且OB0 = b。求摇杆OA的转动方程及其角速度随时间的变化规律。
? O A R B0 b B O1 C O ? B A v0 ?
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