数列求和及综合应用
解答题
1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),
2
化简得d-4d=0,
2
解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=
2
n[2?(4n?2)]2
=2n.
22
令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n.
当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.
2. （2014·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差数列{an}满足： a1＝2，且a1,a2,a3 成等比数列.
第 1 页 共 15 页
（1） 求数列{an}的通项公式.
（2） 记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n，使得Sn?60n?800?若存在，求n的最小
值；若不存在，说明理由.
【解题指南】（Ⅰ）由2，2?d，2?4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项；
（Ⅱ）根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn?60n?800，解此不等式。 【解析】（1）设数列{an}的公差为d，依题意，d,2?d,2?4d成等比数列， 故有(2?d)2?2(2?4d)
2化简得d?4d?0，解得d?0或d?4
当d?0时，an?2
当d?4时，an?2?(n?1)?4?4n?2
从而得数列{an}的通项公式为an?2或an?4n?2。 （2）当an?2时，Sn?2n。显然2n?60n?800 此时不存在正整数n，使得Sn?60n?800成立。 当an?4n?2时，Sn?2n[2?(4n?2)]?2n2
22令2n?60n?800，即n?30n?400?0， 解得n?40或n??10（舍去），
此时存在正整数n，使得Sn?60n?800成立，n的最小值为41。 综上，当an?2时，不存在满足题意的n；
当an?4n?2时，存在满足题意的n，其最小值为41。 3. （2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）
已知数列{an}满足a1?1,|an?1?an|?pn,n?N*.
（1）若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； （2）若p?
1
，且{a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 2
【解题提示】（1）由{an}是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用a1,2a2,3a3成等差数列，得到关于p的方程即可；
第 2 页 共 15 页
（2） {a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。 【解析】（1）因为{an}是递增数列，所以an?1?an?pn， 又a1?1，a2?p?1,a3?p2?p?1，
因为a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2?a1?3a3,4p?4?1?3p2?3p?3,3p2?p， 解得p?11,p?0，当p?0，an?1?an?0，与{an}是递增数列矛盾，所以p?。
33（2）因为{a2n?1}是递增数列，所以a2n?1?a2n?1?0， 于是?a2n?1?a2n???a2n?a2n?1??0① 由于
11?，所以a2n?1?a2n?a2n?a2n?1② 22n22n?12n?12n??1?③ ??1?由①②得?a2n?a2n?1??0，所以a2n?a2n?1????2?22n?1?1?因为{a2n}是递减数列，所以同理可得a2n?1?a2n?0，a2n?1?a2n?????2?an?1?ann?1??1?， ?2n2n?1??1??22n④由③④得
2n所以an?a1??a2?a1???a3?a2?????an?an?1?
23n???1???1??1??1?????21222n?1?1?1????12??1???121?2nn?141??1?， ??332n?1n41??1?所以数列{an}的通项公式为an??． 332n?14. （2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）
n2?n，n?N?. 已知数列?an?的前n项和Sn?2 （1）求数列?an?的通项公式；
（2）设bn?2n???1?an，求数列?bn?的前2n项和.
an【解题提示】（1）利用an,Sn的关系求解，（2）分组求和。
第 3 页 共 15 页
【解析】（1）当n?1时，a1?S1?1；
n2?n(n?1)2?(n?1)??n， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?22故数列?an?的通项公式为an?n （2）由（1）知，bn?2?n??1?n，记数列?b?的前2n项和为T
nn2n，
则T2n?(21?22???22n)?(?1?2?3?4???2n) 记A?2?2???2,B??1?2?3?4???2n，
122n2(1?22n)?22n?1?2， 则A?1?2B?(?1?2)?(?3?4)????[?(2n?1)?2n]?n
故数列?bn?的前2n项和T2n?A?B?22n?1?n?2
5.(2014·广东高考文科·T19)(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值.
(2)求数列{an}的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有
1111++…+<.
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)3【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2). (3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.
【解析】(1)令n=1,则S1=a1,S12-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即a12+a1-6=0, 解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) Sn2-(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0 可以整理为(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,
第 4 页 共 15 页
因为数列{an}中an>0, 所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*). (3)因为
111==·
an(an?1)2n(2n?1)411n(n?)2<
1·4111(n?)(n?1?)44，
111(n?)(n?1?)44所以
=
11n?4-
11n?1?4,
111++…+
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)?????????1??1??11??11?1
34n?33故对一切正整数n,有
1111++…+<.
a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)36. （2014·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）
aa?an??????已知数列an和bn满足122??n?N?.若?a?为等比数列，且
bn?na1?2,b3?6?b2. （1）求an与bn；
cn?11?n?N??c?Sanbn，记数列n的前n项和为n.
??（2）设
①求
Sn；
?②求正整数k，使得对任意n?N，均有Sk?Sn.
第 5 页 共 15 页