（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：an?2n，bn?an(n?1)?n(n?1)
2①当n为偶数时：
Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??2??1?3??4??3?5?????n???n?1???n?1???2?2?4?2?6?2????n?2 ?2??2?4?6????n??2?n?nn2?2n2??2?22 ②当n为奇数时：
?2??1?3??4??3?5??????n?1????n?2??n??n?n?1? ?2?2?4?2?6?2?????n?1??2?n?n?1?
?2??2?4?6?????n?1???n?n?1??2?n?1?n?1n2?2n?12?2??n?n?1???22Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??n2?2n?1?，n为奇数??2T?2综上：n? ?n?2n,n为偶数??212.(2014·江西高考理科·T17)已知首项都是1的两个数列{an}{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式. (2)若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn.
【解题指南】(1)将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.
(2)由(1)及bn=3n+1可得数列{an}的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn. 【解析】(1)因为bn≠0, 所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, 得-+2=0,即-=2,
所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1为首项,2为公差的等差数列,
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所以cn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)因为bn=3n+1,cn=2n-1. 所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.
所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,
3Sn=1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2, 作差得:-2Sn=32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2
=9+2×-(2n-1)3n+2 =-［18+2(n-1)3n+2］,
所以Sn=9+(n-1)3n+2.
13.（2014·安徽高考文科·Ｔ18）数列{an}满足a1?1,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N?
a（1） 证明：数列{n}是等差数列；
n（2） 设bn?3n?an，求数列{bn}的前n项和Sn
【解题提示】 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。
aaaana=1，所以{n}是以1为首项，1 为公差【解析】(1)由已知可得n+1=n+1?n+1nn+1nn+1n的等差数列。
a（2）由（1）得n=1+（n-1）=n，所以an=n2,从而bn=n.3n，
nSn=1.31+2.32+3.33+...+n.3n
n3Sn=1.32+2.33+3.34+...(n-1)3++n.3n+1
将以上两式联立可得-2Sn=3+3+3+...+3-n.3n+1（2n-1).3+3所以Sn=
4123nn+13.(1-3n)1-2n).3n+1-3n+1（-n.3==
21-314. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T17)(本小题满分12分)已知数列?an?满足a1=1,an+1=3an+1.
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1??(1)证明?an??是等比数列,并求?an?的通项公式.
2??(2)证明:
1113++…+<. a1a2an211”与“an+”的关系,得证,然后求得22【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+{an}的通项公式.
?1?(2)求得??的通项公式,然后证得不等式.
?an?【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*. 所以an+1+
111??=3an+1+=3?an??. 222??131??所以?an??是首项为a1+=,公比为3的等比数列.
222??13n3n?1所以an+=,所以an=.
222(2)
221111=n. =1,当n>1时, =n 1113++…+<.n∈N*. a1a2an215. （2014·四川高考理科·Ｔ19）设等差数列{an}的公差为d，点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上（n?N*）． （1）若a1??2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?a{n}的前n 项和Tn. bn1，求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公 第 13 页 共 15 页 式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上，所以bn?2an，又等差数列{an}的公差为d， bn?12an?1所以?an?2an?1?an?2d， bn2b因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，所以4b7?2a8?b8，所以2d?8?4?d?2， b7n(n?1)d??2n?n2?n?n2?3n． 又a1??2，所以Sn?na1?2x（2）由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2) 111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?，从而a2?，故a2?2 ln2ln2ln2an从而an?n，bn?2n，n?n bn2123nTn??2?3??n 22221123n Tn?2?3?4??n?1 22222111111n1nn?2所以Tn??2?3?4??n?n?1?1?n?n?1?1?n?1 2222222222n?2故Tn?2?n. 216. （2014·四川高考文科·Ｔ19）设等差数列{an}的公差为d，点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上（n?N?）． （1）证明：数列{bn}为等比数列； （2）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?2{anbn}的前n项和Sn． 1，求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力. 【解析】（1）点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上，所以bn?2an?0，又等差数列{an}的 bn?12an?1公差为d，当n?1时，?an?2an?1?an?2d，所以，数列{bn}是首项为2a1，公比为2dbn2的等比数列． x（2）由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2) 111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?，从而a2?，故a2?2， ln2ln2ln2所以d?a2?a1?1，从而an?n，bn?2n，anbn2?n?4n， 第 14 页 共 15 页 于是Tn?1?4?2?42?3?43??n?4n ， 4Tn?1?42?2?43?3?44?所以Tn?4Tn?4?4?4?n?1(1?3n)4?4所以Tn?. 3?n?4n?1， n?1234n?1?4(1?3n)4n?1?4n?1?n?4?. ?4?n?4?33n17. （2014·重庆高考文科·Ｔ16）已知?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列，Sn 表示?an?的前n 项和. (1)求an 及Sn (2)设?bn?是首项为2 的等比数列，公比q 满足q2?(a4?1)q?S4?0. 求?bn?的通项公式及其前n项和Tn. 【解题提示】 直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前n 项和. 【解析】(1)因为?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列，所以 an?a1?(n?1)d?2n?1. 故Sn?1?3??(2n?1)?n(a1?an)n(1?2n?1)??n2. 22(2)由(1)得a4?7,S4?16.因为q2?(a4?1)q?S4?0.即q2?8q?16?0, 所以(q?4)2?0,从而q?4. 又因为b1?2, ?bn?是公比为4 的等比数列，所以 bn?b1qn?1?2?4n?1?22n?1. b1(1?qn)2n从而?bn?的前n 项和Tn??(4?1). 1?q3 第 15 页 共 15 页