(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 答案 (1)略 (2)1∶1
解析 (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， 所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. (2)设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1. 11＋21由题意得V1＝××1×1＝.
322又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1， 所以(V－V1)∶V1＝1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略 (3)略
解析 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E， 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.
13.如图所示，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝A1B，B1C1
1
∥BC，B1C1＝BC.
2
(1)求证：平面A1AC⊥平面ABC； (2)求证：AB1∥平面A1C1C. 答案 (1)略 (2)略
证明 (1)证明：∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝2.∵A1C＝A1B，∴A1C＝2.
∴∠A1AC＝90°.
∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC. 又∵A1A?平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.
1
(2)取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC.∴四边形
2CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.
∵C1C?平面A1C1C，B1E?平面A1C1C， 1
∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，
2
∴B1C1∥BE，B1C1＝BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形．∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1
是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形．∴AE∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1C，AE?平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.
∵AE∩B1E＝E，∴平面B1AE∥平面A1C1C. ∵AB1?平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β 答案 B
解析 对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.
2．(2014·四川文)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
思路 (1)利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)利用线面平行的判定定理即可得出结论． 解析 (1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 11
所以MD綊AC，OE綊AC.
22因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
3．(2015·四川绵阳二诊)如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥EF，∠AFE＝1
60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF＝FE＝AB＝AD＝2，点G为AC的中点．
2
(1)求证：EG∥平面ABF； (2)求三棱锥B－AEG的体积；
(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 解析 (1)证明：取AB中点M，连接FM，GM.
1
∵G为对角线AC的中点，∴GM∥AD，且GM＝AD.
21
又∵FE綊AD，∴GM∥EF且GM＝FE.
2∴四边形GMFE为平行四边形，∴EG∥FM.
又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，∴EG∥平面ABF.
(2)作EN⊥AD于N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED＝AD， 得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E－ABG的高． ∵在△AEF中，AF＝FE，∠AFE＝60°， ∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF＝60°，由EF∥AD，知∠EAD＝60°，∴EN＝AEsin60°＝3.
∴三棱锥B－AEG的体积为 1123V＝·S△ABG·EN＝×2×3×＝.
333(3)平面BAE⊥平面DCE.证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED， ∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE.
∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE＝60°，∴∠FAD＝120°. 又在△AED中，EA＝2，AD＝4，∠EAD＝60°，
由余弦定理，得ED＝23，∴EA2＋ED2＝AD2，∴ED⊥AE. 又∵ED∩CD＝D，∴AE⊥平面DCE. 又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE.
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：
(1)AM∥平面BDC1； (2)DC1⊥平面BDC.
1
证明 (1)取BC1的中点N，连接DN，MN，则MN綊CC1.
2
1
又AD綊CC1，
2
∴AD∥MN，且AD＝MN， ∴四边形ADNM为平行四边形，
∴DN∥AM，又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1， ∴AM∥平面BDC1.
(2)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC， 又CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC， 又由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC∩BC＝C， ∴DC1⊥平面BDC.