函数复习
一、函数的概念与表示 1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 例1、已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )
A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B、B中元素可以有两个原象 C、A中的某个元素在B中可以没有象 D、A与B必须是非空的数集 例2、设X=｛x|0≤x≤2｝，Y=｛y|0≤y≤1｝，则从X到Y可建立映射的对应法则是 （A）y?21x （B）y?(x?2)2 （C）y?x2 （D）y?x?1 34例3、已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同
例1、下列各对函数中，相同的是（ ） A、f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、f(x)?lgx?1,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?1C、 f(u)?1?u1?v D、f（x）=x，f(x)?,g(v)?1?u1?vx2
变式：设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 （ ）
(x)2xA、f(x)?x，g(x)?x B、f(x)?，g(x)? 2x(x)2x2?9C、f(x)?1，g(x)?(x?1) D、f(x)?，g(x)?x?3
x?30例2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x
O y 1 2 x O 1 2 x
1
二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例.函数y?log0.5(4x2?3x)的定义域为________________________
x?1的定义域为（ ） x?2变式1：函数f(x)?A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞) 变式2：函数y?log(2x?1)3x?2的定义域是（ ） A、??2??1??2??1?,1???1,??? B、?,1???1,??? C、?,??? D、?,??? ?3??2??3??2?(x?1)0x?x的定义域为_____________________
变式3：函数f(x)?2、求函数定义域的两个难点问题
例3：
（1） 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2） 已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。
变式：（1）已知函数y?f(x)的定义域为(0,1)，则y?f(x2)的定义域 ; （2）已知函数y?f(2x?1)的定义域为(0,1)，则y?f(x)的定义域 ； （3）已知函数y?f(x?1)的定义域为[?2,3]，则y?f(2x2?2)的定义域 ； 例4：设f(x)?lg
变式练习：f(2?x)?
2
2?xx2，则f()?f()的定义域为__________ 2?x2x4?x2，求f(x)的定义域。
三、函数的值域
1、基本函数的值域问题：
名称 一次函数 解析式 值域 y?kx?b R 二次函数 y?ax2?bx?c 4ac?b2a?0时，[,??) 4a4ac?b2a?0时，(??,] 4a反比例函数 指数函数 对数函数 y?k x{y|y?R，且y?0} {y|y?0} R y?ax y?logax y?sinx 三角函数 {y|?1?y?1} R y?cosx y?tanx
2、求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例：
1．（直接法）y?
3．（换元法）y??x?2x?1 4. （Δ法） y?
5. (分离常数法) ①y?
1 2．f(x)?2?24?2x?x2 2x?2x?33x
x2?4x3x?1(?2?x?4) ②y?x?12x?1 3
6. (单调性)y?x?
3(x?[?1,3]) 2x7．(图象法)y?3?2x?x2(?1?x?2)
8. (几何意义)y?x?2?x?1 变式练习
1、求下列函数的值域
（1）y?x?1 （2）y?
2、求下列函数的值域
（1）y?
（3）y?x?1?2x
4、 求下列函数的值域
（1）y?12 （3）y??x?2x?3x
1 （2）y??x2?2x?3 2?x?2x?32x?12x?1 （2）y?（x?0） x?1x?1
四．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(?x)?f(x)，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x∈A，都有f(?x)??f(x)，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
4
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
4．．已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(M?N??)上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函
数的奇偶性．
f(x) g(x) ?f(x) 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 偶
例1、判断下列函数的单调性
1 f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)奇 偶 偶 偶
奇 奇 奇 偶 2???x?x(x?0),（1）f(x)?x?x?1?1； （2）f(x)??2??x?x(x?0).
2
例2、 已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? .
变式：已知f(x)是R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)， 则f(x)的解析式为 ．
?2x?b例3、 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。
2?a（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围；
5
22