例4 、已知f(x)在（－1，1）上有定义，且满足x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(x?y), 1?xy证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；
例5 、若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_______
【练习】
1、如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间??7,?3?上是（ ） A．增函数且最小值是?5 B．增函数且最大值是?5 C．减函数且最大值是?5 D．减函数且最小值是?5
2、若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
3233C f(2)?f(?1)?f(?) D f(2)?f(?)?f(?1)
22A f(?)?f(?1)?f(2) B f(?1)?f(?)?f(2)
323、若函数式xff(x)在(??,0)?(0,??)上为奇函数,且在(0,??)上是单调增函数, f(?2)?0,则不等
(x)?0的解集为______
4、已知函数f(x)的定义域为??7,7?，且同时满足下列条件：
（1）f(x)是奇函数；（2）f(x)在定义域上单调递减；（3）f(1?a)?f(2a?5)?0, 求a的取值范围.
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?2x?b5、已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.
2?a（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围；
五、函数的单调性 1、函数单调性的定义
定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1?x2时满足：
⑴ f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是增函数；?若??f?x1??f?x2???0，则为增函数?
x1?x2??f?x1??f?x2?? ⑵ f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是减函数．?若?0，则为减函数?
x?x12??2、判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
3、设y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减函数；若
f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f?g?x??在M上是增函数。 例1、判断函数f(x)??x(x?R)的单调性。
例2、函数f(x)对任意的m,n?R，都有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当x?0时，f(x)?1， ⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f(3)?4，解不等式f(a?a?5)?2
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23
例3、函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________ 例4、已知f(x)???(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 （ ）
logx,x?1a?131173（D）[,1)
（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)
17变式：若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
(A)a??3
(B)a??3 (C)a?5 (D)a?3
例5、函数f(x)??x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是增函数，求a的范围
【练习】
1．已知偶函数f(x)在区间[0,??)上单调增加，则f(2x?1)?f(13)的x取值范围是
A．(1,2) Ｂ．[1,2) Ｃ．(1,2) Ｄ．[1,2 33332323)
2、已知函数f(x)???3x?1,x?0,x?0.若f?x0??3，则x0的取值范围是高考资源网
?log2x,A.x0?8. B.x0?0或x0?8. C.0?x0?8. D.x0?0或0?x0?8.
3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a?f(3)，c?f(2)，则a,b,c大小关系是
A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a D．c?b?a
4、函数f(x)?log21(6?x?x)的单调递增区间是
3A.［-
12，+∞) B.［-12，2) C.(-∞，-112) D.(-3，-2) 5、已知函数f(x)?log22(x?ax?3a)在区间[2，+?]上是增函数，则a的取值范围是 A.（??,4] B.（??,2] C.（?4,4] D.（?4,2]
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b?f(2)，
6.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f()=f(x)-f(y),且f(6)=1, 解不等式
xyf(x+3)-f(
1)＜2. x
六、单调性奇偶性综合
1．f(x)为奇函数，当x?0时，f(x)?x(1?x)则x?0时，f(x)?
2．f(x)?x5?px3?qx?8满足f(?2)?10，求f(2)
3． 函数f(x)在(??,??)上满足（1）f(x?y)?f(x)?f(y)（2）f(x)在定义域上单调递减（3）
f(1?a)?f(1?a2)?0
求：（1）f(x)为奇函数（2）a的取值范围
4．已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f(a?2)?f(4?a2)?0，试确定a的取值范围
25、已知奇函数f(x)在R上的减函数，对任意的实数x，恒有f(kx)?f(?x?x?2)?0成立，求k的取
值范围。
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6、函数f(x)?ax?b12f()?是定义在上的奇函数，且 (?1,1)2251?x（1）确定f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在(?1,1)上是增函数；（3）解不等式f(t?1)?f(t)?0
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