r23?r32?0.8，表示子与女的相貌相像程度为80%； r24?r42?0.2，表示子与邻居相貌相像程度为20%； r25?r52?0.85，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
r34?r43?0，表示女与邻居之间的相貌无相像之处； r35?r53?0.9，表示母女相貌相像程度为90%；
r45?r54?0.1，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
由于
0.80.20.8??10.8??0.810.850.20.85??2R??0.80.8510.20.9??R
??0.20.20.210.2???0.80.850.90.21???即R不具有传递性，所以不是模糊等价矩阵.
②求传递闭包. 由于
0.80.80.20.8??1??0.810.850.20.85??4R??0.80.8510.20.9??R2,
??0.20.20.210.2???0.80.850.90.21?????R2，是U上的模糊等价矩阵，用它对U进行聚类. 因此R③聚类：
｛u1，u2，u3，u4，u5｝ 当0???0.2时，U分为一类：； ｛u1，u2，u3，u5｝，｛u4｝当0.2???0.8时，U分为两类：； ｛u1｝，｛u2，u3，u5｝，｛u4｝当0.8???0.85时，U分为三类：； ｛u1｝，｛u2｝，｛u3，u5｝，｛u4｝当0.85???0.9时，U分为四类：； ｛u1｝，｛u2｝，｛u3｝，｛u5｝，｛u4｝当0.9???1时，U分为五类：.
④画出聚类图，见下图.
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当??0.2时，u4（邻居）就不属于他们（一家）一类，这是符合实际情况的. 上述分类对象较少，用模糊传递闭包法分类还可以进行.但是，当被分类的对象很多时，计算模糊相似矩阵R的传递闭包的工作量将非常大，为了减少工作，可以通过用计算机语言程序来实现，在此就不做介绍.下面我们将介绍另外一种由我国学者总结出来的直接用模糊相似矩阵R进行聚类的几种方法. 3直接聚类法的基本步骤及其应用 3.1直接聚类法的基本步骤
(1)将模糊相似矩阵R中的所有不同的元素rij按照从大到小的顺序编排，设为
1??1??2???m.
(2)(选取???k(k?1,2,,m)，直接在模糊相似矩阵R上找出?k水平上的相似
类，并进行归类，即可得到?k水平上的等价分类.
寻找相似类和归并的原则：若rij??k，则将ui与uj分为一类.设B1，B2是?k水平上的两个分类，若B1?B2??，则称它们为相似的（相连的）.将所有相似的类合并成一类，最终得到的分类就是?k水平上的等价分类.
(3)画动态聚类图.
可以知道直接聚类法是一种简捷的聚类方法，我国学者罗承忠已经证明了直接聚类法与传递闭包法的分类结果是完全一致的. 3.2直接聚类法的应用
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｛u1，u2，u3，u4，u5｝例 设U ?表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人按相貌相像程度进行打分得到模糊相似矩阵为：
?1??0.8R??0.6??0.1?0.2?0.10.2??10.80.20.85?0.8100.9?，
?0.2010.1?0.850.90.11??0.80.6请用直接聚类法对U进行模糊分类. 解 ①求相似关系. 由题可知，相似关系为
?1??0.8R??0.6??0.1?0.2?0.10.2??10.80.20.85?0.8100.9?.
?0.2010.1?0.850.90.11??0.80.6自己与自己的相貌完全相像，所以对角线上的元素都为1；
r12?r21?0.8， 表示父子相貌相像程度为80%； r13?r31?0.6，表示父女相貌相像程度为60%；
r14?r41?0.1，表示父亲与邻居的相貌相像程度为10%； r15?r51?0.2，表示父亲与母亲相貌相像程度为20%； r23?r32?0.8，表示子与女的相貌相像程度为80%； r24?r42?0.2，表示子与邻居相貌相像程度为20%； r25?r52?0.85，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
r34?r43?0，表示女与邻居之间的相貌无相像之处； r35?r53?0.9，表示母女相貌相像程度为90%；
r45?r54?0.1，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
②动态聚类.
将R中的元素进行排序为：
1?0.9?0.85?0.8?0.6?0.2?0.1，
取??1，因为相似程度为1的元素只有自己，所以U被分为5类：
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｛u1｝，｛u2｝，｛u3｝，｛u4｝，｛u5｝.
取??0.9，因为在R中：r35?r53?0.9，所以得到相似类为：
｛u3,u5｝，｛u1｝，｛u2｝，｛u3｝,｛u4｝,｛u5｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
｛u3,u5｝，｛u1｝，｛u2｝，｛u4｝
取??0.85，因为在R中：r25?r52?0.85，所以得到相似类为：
｛u2,u5｝,｛u3,u5｝，｛u1｝，｛u3｝,｛u4｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
｛u2,u3,u5｝，｛u1｝，｛u4｝.
取??0.8，因为在R中：r12?r21?0.8，所以得到相似类为：
｛u1,u2｝,｛u2,u3,u5｝,｛u1｝,｛u4｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
｛u1,u2,u3,u5｝,｛u4｝.
取??0.6，因为在R中：r13?r31?0.6，所以得到相似类为：
｛u1,u3｝,｛u1,u2｝,｛u2,u3,u5｝,｛u4｝
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
｛u1,u2,u3,u5｝,｛u4｝.
由此可见，在0.8水平上的等价分类与在0.6水平上的等价分类是完全一样的.事实上，在0.2???0.8水平上的等价分类是完全相同的.
取??0.2，因为在R中：r24?r42?0.2，所以得到相似类为：
｛u1,u2,u3,u5｝,｛u2,u4｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
｛u1,u2,u3,u4,u5｝.
③画动态聚类图.
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4最大树法（最大生成树法）的基本步骤及其应用. 4.1最大树法的基本步骤.
最大树法是由我国学者吴望名[5]给出的，其具体步骤如下：
(1)以所有被分类的对象为顶点；
(2)当rij?0时，将顶点ui与顶点uj用一条线连接起来，并在线段上注明相关程度rij，具体画法如下：
首先画出顶点集中处的某个顶点ui，然后按rij从大到小的顺序依次用直线将元素连接起来，并在线段上注明相关程度rij.若在连边时出现回路，便不画这一步，且不出现相交线，直到所有对象连通为止.这样，就得到一棵所谓的最大树（根据选取顶点的不同，最大树可以不唯一）.
(1)适当选取??[0,1]，砍去线段上值小于?的连线，剩下互相连通的对象归为同一类.这样，就得到在?水平上的一种等价分类.
(2)画出动态聚类图. 4.2最大树法的应用.
｛u1，u2，u3，u4，u5｝例 设U ?表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人按相貌相像程度进行打分得到模糊相似矩阵为：
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