近五年高考数学试卷分析
——解析几何部分
纵观2006—2010年北京卷解析几何考题内容，突出了对主干知识的考查，稳中有变，稳中有新，注重数学思想方法的考察；同时又考察了考生的综合能力，具体体现在以下几个方面： 一、
突出主干知识，没有偏题、生题
19（2006年）、已知点M(?2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?22.记动点P的轨迹为W. （Ⅰ）求W的方程；
????????（Ⅱ）若A,B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值.
解法一：
（Ⅰ）由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=2. 又半焦距c=2。故虚半轴长b=c2?a2?2，
x2y2??1,x?2 所以W的方程为22（Ⅱ）设A、B的坐标分别为（x1y1），（x2y2）.
????????当AB?x轴时，x1?x2,y1?y2，从而OA?OB?x1x2?y1y2?x12?y12?2。
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y?km?x，与W的方程联立，消去y得
?9?k?x22?2kmx?m2?2?0，
2kmm2?2,x1x2?2故x1?x2? 21?kk?1????????所以OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)
(1?k2)(m2?2)2k2m22??m ?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?22k?11?k222k2?24?2?2?2 k?1k?1????????又因为x1x2?0，所以k?1?0，从而OA?OB?2.
2????????综上，当AB?x轴时，OA?OB取得最小值2.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设A、B的坐标分别为?x1,y1?,?y1,y2?，则
xi2?yi2?(xi?yi)(xi?yi)?2(i?1,2)
令si?xi?yi,ti?xi?yi，
????????则siti?2，且si?0，ti?0(i?1,2)，所以OA?OB?x1x2?y1y2
11(s1?t1)(s2?t2)?(s1?t1)(s2?t2) 4411?s1s2?t1t2?s1s2t1t2?2 22?当且仅当s1s2?t1t2，即??x1?x2时“=”成立.
?y1??y2????????所以OA?OB的最小值是2.
主要考察了双曲线定义、直线与双曲线的位置关系等基础知识，同时又考察了圆锥曲线与向量函数的综合问题
0)，AB边所在直线的方程为17（2007年）、矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，x?3y?6?0，点T(?11)，在AD边所在直线上．
（I）求AD边所在直线的方程；
（II）求矩形ABCD外接圆的方程；
0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方（III）若动圆P过点N(?2，程．
解：（I）因为AB边所在直线的方程为x?3y?6?0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为?3．
，在直线AD上， 又因为点T(?11)所以AD边所在直线的方程为y?1??3(x?1)．
3x?y?2?0．
（II）由??x?3y?6?0，?2)， 解得点A的坐标为(0，?3x?y?2=00)． 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又AM?(2?0)2?(0?2)2?22．
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x?2)2?y2?8．
（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PM?PN?22， 即PM?PN?22．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a?2，半焦距c?2．
所以虚半轴长b?c2?a2?2．
x2y2??1(x≤?2)． 从而动圆P的圆心的轨迹方程为
22考察了直线和圆，重点考察了两直线的垂直关系、两点间距离公式、两条直线的交点、轨迹方程等知识点
19（2008年）、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2?3y2?4上，对角线BD所
在直线的斜率为1．
1)时，求直线AC的方程； （Ⅰ）当直线BD过点(0，（Ⅱ）当?ABC?60时，求菱形ABCD面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y?x?1． 因为四边形ABCD为菱形，所以AC?BD． 于是可设直线AC的方程为y??x?n．
??x2?3y2?4，22由?得4x?6nx?3n?4?0． ?y??x?n因为A，C在椭圆上，
所以???12n?64?0，解得?24343?n?． 33设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
3n3n2?4则x1?x2?，x1x2?，y1??x1?n，y2??x2?n．
24所以y1?y2?n． 2所以AC的中点坐标为??3nn?，?． 44???3nn?，?在直线y?x?1上， ?44?由四边形ABCD为菱形可知，点?所以
n3n??1，解得n??2． 44所以直线AC的方程为y??x?2，即x?y?2?0． （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且?ABC?60， 所以AB?BC?CA．
?所以菱形ABCD的面积S?32AC． 222?3n2?16由（Ⅰ）可得AC?(x1?x2)?(y1?y2)?，
22?43343?2(?3n?16)?所以S???3?n?3??． 4??所以当n?0时，菱形ABCD的面积取得最大值43．
考察了两条直线垂直关系、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、设而不求方
法及函数最值等基础知识和方法，这些都是课堂上老师重点强调的内容。但此题目有个大陷阱，稍不谨慎就掉进去，菱形不是所有顶点都在椭圆上！而且第一问就考查直线与圆锥曲线的位置关系，有一定难度；第二问结合几何、函数等内容，不容易！所以此题得分率不是很高，比2007年有难度
x2y219（2009年）、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方ab程为x?3 322（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交
于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值。w.w.w.ks.5.u.c.o.m
解法一：
??a23（Ⅰ）由题意，得???c3，解得a?1,c?3，w.w.w.s.5.u.c.o.m c ???a?3 ∴b2?c2?a2?2，∴所求双曲线C的方程为x2?y22?1. （Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上，
w.w.w..s.5.u.c.o.m
圆在点P?xx00,y0?处的切线方程为y?y0??y?x?x0?， 0化简得x0x?y0y?2.
w.w.w.s.5.u.c.o.m
??2y2由
?x??1及
x2?y2?200?2?x0x?y0y?2?3x2?4?x2?4x8?2x200x?0?0，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x20?2， ∴3x220?4?0，且??16x0?4?3x2?4??8?2x200??0，w.w.w..s.5.u.c.o.m
设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
则x4x208?2x01?x2?3x24,x1x2?3x2，w.w.w..s.5.u.c.o.m 0?0?4????∵cos?AOB????OAOA?????OB?????OB?，且
???OA?????OB??x11x2?y1y2?x1x2?y2?2?x0x1??2?x0x2?，
0?x1x2?12?x2??4?2x0?x1?x2??x20x1x2??w.w.w..s.5.u.c.o.m
0得