第十四章波动
14-1 一横波再沿绳子传播时得波动方程为y?(0.20m)cos(2.5?s?1)t?(?m?1)x。（1）求波得振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时得最大速度；（3）分别画出t=1s和t=2s时得波形，并指出波峰和波谷。画出x=1.0m处质点得振动曲线并讨论其与波形图得不同。
??
14-1 y?(0.20m)cos??2.5?s?1?t?(?m?1)x?
分析（1）已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率?、振幅A及彼长 等），通常采用比较法。将已知的波动方程按波动方程的一般形式
??x??y?Acos???t????0?书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“－”、“＋”的选取分
??u??别对应波沿x轴正向和负向传播）。比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法。
（2）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别。例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即v?dydt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质的性质决定。介质不变，彼速保持恒定。（3）将不同时刻的t值代人已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程y?y(x)，从而作出波形图。而将确定的x值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程y?y(t)，从而作出振动图。 解（1）将已知波动方程表示为
y?(0.20m)cos2.5?s?1t?x2.5m?s?1
??????与一般表达式y?Acos???t?xu???0?比较，可得
A?0.20m,u?2.5m?s?1,?0?0
则 v??2??1.25Hz,??uv?2.0m
（2）绳上质点的振动速度
v?dydt??0.5?m?s?1sin2.5?s?1t?x2.5m?s?1
???????? 则vmax?1.57m?s?1
（3） t=1s和 t＝2s时的波形方程分别为
y1?(0.20m)cos2.5???m?1x y2?(0.20m)cos5???m?1x
????????波形图如图14－1（a）所示。 x＝1.0m处质点的运动方程为
y??(0.20m)cos2.5?s?1t
??振动图线如图14－1（b）所示。
波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的时间变化的情况。
?s?1)t，它所形成得波形以30m/s14-2 波源作简谐运动，其运动方程为y?(4.0?10?3m)cos(240的速度沿一直线传播。（1）求波的周期及波长；（2）写出波的方程。
?s?1)t 14-2 y?(4.0?10?3m)cos(240分析 已知彼源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式
y?Acos??t??0?进行比较，求出振幅地角频率?及初相?0，而这三个物理量与波动方程的一般形式y?Acos???t?xu???0?中相应的三个物理量是相同的。再利用题中已知的波速U及公式??2???2?/T和??uT即可求解。
解（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率??240?s?1。根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有 T?2?/??8.33?10?3s 波长为
??uT?0.25m
(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得
A?4.0?10?3m，??240?s?1，?0?0
故以波源为原点，沿X轴正向传播的波的波动方程为
y?Acos???t?xu???0?
?(4.0?10?3m)cos[(240?s?1)t?(8?m?1)x]
10?s?1)t?(2m?1)x]。14-3 以知以波动方程为y?(0.05m)sin[(（1）求波长、频率、波速和周期；
（2）说明x=0时方程的意义，并作图表示。
10?s?1)t?(2m?1)x] 14-3y?(0.05m)sin[(分析采用比较法。将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得角频率。、
波速U，从而求出波长、频率等。当x确定时波动方程即为质点的运动方程y?y(t)。 解（1）将题给的波动方程改写为
y?(0.05m)sin[(10?s?1)(t?x/5?m?s?1)??/2]
与y?Acos???t?xu???0?比较后可得波速 角频率??10?s?1，故有 ???/2??5.0Hz，T?1/??0.2s，??uT?3.14m
（2）由分析知x=0时，方程表示位于坐标原点的质点的运动方程（图13—4）。
y?(0.05m)cos[(10?s?1)t??/2]
14-4 波源作简谐振动，周期为0.02s，若该振动以100m/s的速度传播，设t=0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距离波源15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相；（2）距离波源16.0m和17.0m两处质点的相位差。
14-4
分析（1）根据题意先设法写出波动方程，然后代人确定点处的坐标，即得到质点的运动方程。并可求得振动的初相。（2）波的传播也可以看成是相位的传播。由波长A的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为???2??x/?。
解（1）由题给条件 T＝0.02 s，u＝100 m·s－l，可得
??2?/T?100?s?1；??uT?2m
当t＝0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为?0???/2(或3?/2）。若以波源为坐标原点，则波动方程为
y?Acos[(100?s?1)(t?x/100m?s?1)??/2]
距波源为 x1=15.0m和 x2＝5.0m处质点的运动方程分别为
y1?Acos[(100?s?1)t?15.5?] y2?Acos[(100?s?1)t?5.5?]
它们的初相分别为?10??15.5?和?20??5.5?（若波源初相取?0?3?/2,则初相????1??2?2?(x2?x1)/???，。） （2）距波源 16.0 m和 17.0 m两点间的相位差
????1??2?2?(x1?x2)/???
14-5 波源作简谐振动，周期为1.0×10-2s，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u=400m/s的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0m处质点P的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m和10.0m处两点的相位差。
14-5
解分析同上题。在确知角频率??2?/T?200?s?1、波速u?400m?s?1和初相?0?3?/2(或??/2）的条件下，波动方程
y?Acos[(200?s?1)(t?x/400m?s?1)?3?/2]
位于 xP =8.0 m处，质点 P的运动方程为
yp?Acos[(200?s?1)(t?5?/2]
该质点振动的初相?P0??5?/2。而距波源9.0 m和 10.0 m两点的相位差为
???2?(x2?x1)/??2?(x2?x1)/uT??/2 如果波源初相取?0???/2，则波动方程为
y?Acos[(200?s?1)(t?9?/2]
质点P振动的初相也变为?P0??9?/2，但波线上任两点间的相位差并不改变。
14-6 有一平面简谐波在介质中传播，波速u=100m/s，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75.0m处的一点P的运动方程为yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]。求（1）波向x轴正方向传播时的波动方程；（2）波向x轴负方向传播时的波动方程。
14-6yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]
分析在已知波线上某点运动方程的条件下，建立波动方程时常采用下面两种方法：（1）
先写出以波源O为原点的波动方程的一般形式，然后利用已知点P的运动方程来确定该波动方程中各量，从而建立所求波动方程。（2）建立以点P为原点的波动方程，由它来确定波源点O的运动方程，从而可得出以波源点O为原点的波动方程。 解1（1）设以波源为原点O，沿X轴正向传播的波动方程为
y?Acos???t?xu???0? 将 u＝100 m·s－‘代人，且取x二75 m得点 P的运动方程为
yp?Acos???t?0.75s???0?
与题意中点 P的运动方程比较可得 A＝0.30m、??2?s?1、?0?2?。则所求波动方程为
yp?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)]
(2)当沿X轴负向传播时，波动方程为 y?Acos???t?xu???0?
将 x＝75 m、u?100ms?1代人后，与题给点 P的运动方程比较得A＝ 0.30m、??2?s?1、?0???，则所求波动方程为
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)??]
解2（1）如图14一6（a）所示，取点P为坐标原点O’，沿O’x轴向右的方 向为正方向。根据分析，当波沿该正方向传播时，由点P的运动方程，可得出以 O’（即点P）为原点的波动方程为
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)?0.5?]
将 x=-75 m代入上式，可得点 O的运动方程为
yO?(0.30m)cos(2?s?1)t
由此可写出以点O为坐标原点的波动方程为
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)]
（2）当波沿河X轴负方向传播时。如图14－6（b）所示，仍先写出以O’（即点P）为原点的波动方程
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)?0.5?]
将 x=-75 m代人上式，可得点 O的运动方程为
yO?(0.30m)cos[(2?s?1)t??]
则以点O为原点的波动方程为
y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)??]
讨论对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。在已知某点初相平0的前提下，根据两点间的相位差????0'??0?2??x/?，即可确定未知点的初相中小
14-7 图14-7为平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中质点P的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度。
14-7
分析（1）从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径。具体步骤为：1.从波形图得出波长?'、振幅A和波速u???；2.根据点P的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转关量法确定其初相?0。（2）在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O为X处的运动方程y＝y（t），及该质点的振动速度v＝dy／d t。
解（1）从图 15－ 8中得知，波的振幅 A＝ 0.10 m，波长??20.0m，则波速
u????5.0?103m?s?1。根据t＝0时点P向上运动，可知彼沿Ox轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy轴负方向运动。利用旋转矢量法可得其初相?0??/3。故波动方程为