y?Acos???t?xu???0???(0.10m)cos[(500?s?1)(t?x/5000m?s?1)??/3]
（2）距原点 O为x=7.5 m处质点的运动方程为
y?(0.10m)cos[(500?s?1)t?13?/12]
t=0时该点的振动速度为
14-8 平面简谐波以波速u=0.5m/s沿Ox轴负方向传播，在t=2s时的波形图如图14-8（a）所示。求原点的运动方程。
v?(dy/dt)t?0??(50?m?s?1)sin13?/12?40.6m?s?1
14-8
分析上题已经指出，从波形图中可知振幅A、波长?和频率?。由于图14－8（a）是t＝2s时刻的波形曲线，因此确定 t＝ 0时原点处质点的初相就成为本题求解的难点。求t＝0时的初相有多种方法。下面介绍波形平移法、波的传播可以形象地描述为波形的传播。由于波是沿 Ox轴负向传播的，所以可将 t＝2 s时的波形沿Ox轴正向平移
?x?uT?(0.50m?s?1)?2s?1.0m，即得到t=0时的波形图14－8（b），再根据此时点O的状
态，用旋转关量法确定其初相位。
解由图 15－ 9（a）得知彼长??2.0m，振幅 A＝ 0.5 m。角频率??2?u/??0.5?s?1。 按分析中所述，从图15—9（b）可知t=0时，原点处的质点位于平衡位置。
并由旋转矢量图14－8（C）得到?0??/2，则所求运动方程为
y?(0.50m)cos[(0.5?s?1)t?0.5?]
14-9 一平面简谐波，波长为12m，沿Ox轴负方
向传播，图14-9（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求此波的波动方程。
14-9
分析该题可利用振动曲线来获取波动的特征量，从而建立波动方程。求解的关键是如何根据图14－9（a）写出它所对应的运动方程。较简便的方法是旋转矢量法（参见题13－10）。 解 由图14－9（b）可知质点振动的振幅A＝0.40 m，t＝0时位于 x＝1.0m的质点在A
／2处并向Oy轴正向移动。据此作出相应的旋转矢量图14－9（b），从图中可知?0????3。又由图 14－9（a）可知，t＝5 s时，质点第一次回到平衡位置，由图14－9（b）可看出?t?5?6，因而得角频率???6s?1。
由上述特征量可写出x＝l.0m处质点的运动方程为
y?(0.40m)cos[(s?1)t?]
63?? 采用题14－6中的方法，将波速u??T???2??1.0m?s?1代人波动方程的一般形式
y?Acos[?(t?xu)??0]中，并与上述x＝1.0m处的运动方程作比较，可得?0???2，则波
动方程为
????y?(0.40m)cos?(s?1)t?x1.0m?s?1??
2??6??
14-10 图14-10中（I）是t=0时的波形图，（II）是t=0.1s时的波形图，已知T>0.1s，写出波动方程的表达式。
14-10
分析 已知波动方程的形式为
y?Acos[2?(tT?x?)??0]
从如图15—11所示的t＝0时的波形曲线Ⅰ，可知彼的振幅A和波长?，利用旋转矢量法可确定原点处质点的初相?0。因此，确定波的周期就成为了解题的关键。从题给条件来看，周期T只能从两个不同时刻的波形曲线之间的联系来得到。为此，可以从下面两个不同的角度来分析。
（l）由曲线（Ⅰ）可知，在 tzo时，原点处的质点处在平衡位置且向 Oy轴负向运动，
而曲线（Ⅱ）则表明，经过0。1s后，该质点已运动到 Oy轴上的一A处。因此，可列方程kT?T4?0.1s，在一般情形下，k= 0， 1，2，?这就是说，质点在 0。1 s内，可以经历 k个周期振动后再回到A处，故有T?(0.1s)(k?0.25)。（2）从波形的移动来分析。因波沿Ox轴正方向传播，波形曲线（Ⅱ）可视为曲线（Ⅰ）向右手移了?x?u?t???tT。由图可知，?x?k???4，故有k???4???tT，同样也得T?(0.1s)(k?0.25)。应当注意，k的取值由题给条件 T＞0.1s所决定。
解 从图中可知波长??2.0m，振幅A＝0.10 m。由波形曲线（Ⅰ）得知在t=0时，原点处质点位于平衡位置且向 Oy轴负向运动，利用旋转矢量法可得?0??/2。根据上面的分析，周期为
T?(0.1s)(k?0.25),k?0,1,2,???
由题意知 T＞0.1s，故上式成立的条件为，可得 T＝0.4s。这样，波动方程 可写成
y?(0.10m)cos?2??t0.4s?x2.0m??0.5??
14-11 平面简谐波的波动方程为y?(0.08m)cos[(4?s?1)t?(2?m?1)x]。求（1）t=2.1s时波源及距波源0.10m两处的相位；（2）离波源0.80m处及0.30m两处的相位。
14-11y?(0.08m)cos(4?s?1)t??2?m?1?x
解（1）将t＝2.1s和x=0代人题给波动方程，可得波源处的相位
?1?8.4? 将t＝2.1s和x＝0.10 m代人题给波动方程，得 0.10 m处的相位为
?2?8.2? 从波动方程可知波长。这样， m与 m两点间的相位差
???2???x???
14-12 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。求距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。
??14-12
分析波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，敌对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率户。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 I?PS。
解由分析可知，半径户处的能疏密度为 I?P4?r2
当 r1＝5。0 m、r2＝10.0 m时，分别有 I1?P4?r1?1.27?10?2W?m?2 I2?P4?r2?3.18?10?3W?m?2
2214-13 有一波在介质中传播，其波速u=1.0×103m/s，振幅A=1.0×10-4m，频率ν=1.0×103Hz。若介质的密度为ρ=8.0×102kg/m3，求：（1）该波的能流密度；（2）1min内垂直通过4.0×10-4m2的总能量。
14-13u?1.0?103m?s?1
A?1.0?10?4m,v?1.0?103Hz
??8.0?102kg?m?3
4.0?10?4m2
解（1）由能流密度I的表达式得
I?1?uA2?2?2?2?uA2v2?1.58?105W?m?2 22）在时间间隔?t?60s内垂直通过面积 S的能量为 W?P??t?IS??t?3.79?103J
14-14 如图14-14所示，两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A、B两点。设它们的相位相同，且频率均为ν=30Hz，波速u=0.50m/s，求在点P处两列波的相位差。
14-14 v=30Hz u?0.50m?s?1
分析在均匀介质中，两列波相遇时的相位差??，一般由两部分组成，即它们的初相差?A??B和由它们的波程差而引起的相位差2??r?。本题因?A???，故它们的相位差只取决于波程差。
解在图14－14的?APB中，由余弦定理可得 BP?AP2?AB2?2AP?ABcos30??2.94m
两列波在点P处的波程差为?r?AP?BP，则相位差为 ???2???r??2?v?ru?7.2?
?m?1)x?[(4?s?1)t]和14-15 两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为y1?(0.06m)cos(y2?(0.06m)cos(?m?1)x?[(4?s?1)t]。（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位置；
（2）波腹处的振幅有多大？在x=1.2m处，振幅多大？
14-15
分析只需证明这两列波会成后具有驻波方程 的形式即可。由驻波方程可确定波腹、波节的位置和任意位置处的 振幅。
解（l）将已知两波动方程分别改写为
可见它们的振幅 A二0。06 m，周期 T二0。5 s（频率。二2 Hi），波长八二2 m。在波线上任取一点P，它距原点为P。则该点的合运动方程为
k式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻波的运动方程 由
得波节位置的坐标为 由
得波腹位置的坐标为
门）驻波振幅，在波腹处A’二ZA二0。12 m；在x二 0。12 m处，振幅为
y1?(0.06m)cos?m?1x?4?s?1t y2?(0.06m)cos?m?1x?4?s?1t y?2Acos?2?x??cos?2?vt? y1?(0.06m)cos2??t0.5s?x2m? y2?(0.06m)cos2??t0.5s?x2m?
????????????y?y1P?y2P?(0.12m)cos(?xP)cos(4?s?1)tx???(0.12m)cos?2?P?cos(4?s?1)t???
x??2Acos?2?P??0
???xP?(2k?1)?4?(k?0.5)m,k?0,?1,?2,??? x??2Acos?2?P??2A?0.12m
???xP?k?2?km,k?0,?1,?2,??? x??A??2Acos?2?P?,A??2A?0.12
???x??A??2Acos?2?P???0.12m?cos0.12??0.097m
???
1.6?m?1)xcos(550?s?1)t。14-16 一弦上的驻波方程式为y?(3.0?10?2m)cos(（1）若将此驻波看
成是由传播方向相反，振幅及波速均相同的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；（2）求相邻波节之间的距离；（3）求t=3.0×10-3s时位于x=0.625m处质点的振动速度。