16. 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定
1
轴转动，转动惯量为Ml2，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量
3?为m的子弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中，OA＝2l / 3，则
子弹射入后瞬间杆的角速度??＝__________________________． 答案：
2l/3 A?O ?v0 m
6v0
?4?3M/m?l17. 地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L＝_______________． 答案：mGMR
18. 将一质量为m的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度??在桌面上做半径为r1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r2，在此过程中小球的动能增量是_____________．
122r12答案：mr1?1(2?1)
2r2
3．计算题
1. 一均匀木杆，质量为m1 = 1 kg，长l = 0.4 m，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m2 = 10 g的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v0 = 200 m/s，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s，但方向未变，求
(1) 子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小． (2) 木杆能偏转的最大角度。
(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = / m1l 212) 解：（1）在子弹通过杆的过程中，子弹与杆系统因外力矩为零，故角动量守恒．
则有 m2v 0 l / 4 = m2vl / 4 +J? 3分
m2l?v0?v?3m2?v0?v?? ?? ＝11.3rad/s 2分
4Jm1l
（2）偏转过程中，机械能守恒．
11J?2?mg(1?cos?) 3分 22s?1? co?l2? 3g ??137.5? 2分
2. 有一半径为R的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T0．如它的半径由R自动收缩为
1R，求 2（1） 球体收缩后的转动周期．
（2） 球体收缩后转动动能的变化。
(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J＝2mR / 5，式中m和R分别为球体的质量和半径)． 解：（1）球体的自动收缩可视为只由球的内力所引起，因而在收缩前后球体的角动量守恒．
设J0和??0、J和?分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有
J0??0 = J? ① 2分
22
由已知条件知：J0 = 2mR / 5，J = 2m(R / 2) / 5 代入①式得
2
??= 4??0 2分
即收缩后球体转快了，其周期 T?周期减小为原来的1 / 4． (2) 转动动能的变化
?Ek? 代入 ??= 4??0 得 ?Ek?2π??2πT0? 2分 4?04112J?2?J?0 2分 2232J?0 2分 2m, l m? v
转动动能增加为原来的3倍． 3. 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端
的竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度O 为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J =
12ml．初始时棒静3止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m?= 0.020 kg，速率为v = 400 m·s-1．试问：
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大？
(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？ 解：(1) 角动量守恒：
m?vl??ml2?m?l2?? 2分
?1??m?m??l?3?122 (2) －Mr＝(ml＋m?l)? 2分
3???1?3m?v??＝15.4 rad·s 2分
-1
0－??2＝2?? 2分
?1?22?m?m??l??3? ??＝15.4 rad 2分
2Mr4. (1) 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距
2m 12l和 l．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m331??的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的
2两端分别为
速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．
(2)在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为
lO 1312?v0m 23l?v0m 1R处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度2?0匀速转动，现在此人沿圆盘半径走到圆盘边缘。已知圆盘对中心轴的转动惯量为
1MR2．求：求此时圆盘对地的角速度． 2
(1)解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒
v2l2l??m0?J?（逆时针为正向） ① 2分 3232l2l2又 J?m()?2m() ② 2分
333v0将②代入①得 ?? 1分
2l得 mv0
(2)解：设当人走到圆盘边缘时，圆盘对地的绕轴角速度为???，则人对与地固联的转轴的角 速度也为 ? ，人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒．
设盘的质量为M，则人的质量为M / 10，有：
2?1M?1??M2??122R?? 3分 ?MR??R???0??MR?10?2??10??2??2?7解得： ???0 2分
8
5. 质量为75 kg的人站在半径为2 m的水平转台边缘．转台的固定转轴竖直通过台心且
2
无摩擦．转台绕竖直轴的转动惯量为3000 kg·m．开始时整个系统静止．现人以相对于地
?1
面为1 m·s的速率沿转台边缘行走，求：人沿转台边缘行走一周，回到他在转台上的初始位置所用的时间．
解：由人和转台系统的角动量守恒
J1?1 + J2?2 = 0 3分 其中 J1＝300 kg·m，?1=v/r =0.5 rad / s ， J2＝3000 kg?m
2
2
∴ ?2＝－J1?1/J2＝－0.05 rad/s 3分 人相对于转台的角速度 ?r＝?1－?2＝0.55 rad/s 2分 ∴ t＝2? /?r＝11.4 s 2分
6. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设
?碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和
O m1 ,l ?v1 m2 ?v2 A 俯视图
?v2，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过
1程所需的时间.(已知棒绕O点的转动惯量J?m1l2)
313解：对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力
矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即 m2v1l＝－m2v2l＋m1l2? ① 3分 碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
m11x?dx???m1gl ② 3分 ?0l2t由角动量定理 ?Mfdt?0?1m1l2? ③ 2分
03v?v2由①、②和③解得 t?2m21 2分
?m1g Mf?l??g 7. 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为
1R处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度?02 匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为
R ??R/2 1MR2．求： 2 (1) 圆盘对地的角速度． (2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着
?v
?1R圆周对圆盘的速度v的大小及方向？ 2
解：(1) 设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为?，则人对与地固联的转轴的角速度为 ?????v???2v ① 2分 1RR2 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒．
设盘的质量为M，则人的质量为M / 10，有：
22?1?22M11M1???? ?MR??R???0?MR???R??? ② 3分 210210?2??2???2v将①式代入②式得：???0? ③ 1分
21R (2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即
?0 +2v / (21R)＝0 2分
得： v＝－21R?0 / 2 1分
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致． 1分