平行四边形所以所以而
ACC1A1中，AC?CC1?2，
ACC1A1为菱形，所以AC?AC1，------4分 1AC1?平面CBA1，----------6分
A1B?平面CBA1，
AC1?A1B．------------7分
A1D?平面ABC，
所以
（II）（解法一）由于所以分
?A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故?A1AD?600，------------------9
AKAK?AB，所以?A1KD即为二面角A1?AB?C的平面作DK?AB于K，连结1，则1角，-------------------------------11分
Rt?A1AD中，A1D?A1Asin600?3--------12分
DK?ADsin?CAB?15------13分
Rt?AKD中，
Rt?A1KD中，
tan?A1KD?14
A1D?5A1D?15，---------14分 DK所以
cos?A1KD?1A?AB?C的平面角的余弦值为4-------------15分
即二面角1（解法二）由于所以
A1D?平面ABC，
?A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故
600，
?A1AD?AD?DC?1，
DA1?3-----------------9分
在平面ABC内，过点D作AC的垂线Dy，则如图，
Dy,DA,DA1两两垂直，建立空间直角坐标系
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则
A?1,0,0?，
B??1,1,0?，
，
A10,0,3?所以
AB???2,1,0?AA1??1,0,??--------11分 3?AAB的一个法向量为m??，平面
13,23,1?
平面ABC的一个法向量为
n??0,0,1?-------13分
cosm,n?m?nmn?14---------------------14分
1A?AB?C的平面角的余弦值为4-------------15分
即二面角1PN?2PF18.(I)作PN?直线l于N，则由题意可知：，---------1分
由于所以
PN?x?2x?2?2?，
PF?2?x?1??y22?y2-------------------------------3分
?x?1?，化简得动点P的轨
x2?y2?1迹C的方程为：2---6分 ?2?Q???1,?2????， (II)易得
当动直线AB的斜率k?0时，
A?2,0,B???2,0,M??2,0??
此时
k1??22?1k2???122，
k1?k22?2.k3??k2，此时，3-------------------8分
当动直线AB的斜率k?0时，设直线AB的方程为x?ty?1,（其中tk?1）
令x??2得，设
y??1??112M??2,??k3??t?，所以t，所以?t2--------10分
，则
A?x1,y1?,B?x2,y2?y1?x1?ty1?1，x2?ty2?1
22y1?2?2?1?1?1k?1?1?1k1?2x1?1ty1tt2ty1，2ty2
- 7 -
k211?k2?所以
t?2t?(1y?1)1y2-----------------12分
x2?y2?1把x?ty?1,代入方程2可得：?t2?2?y2?2ty?1?0
y2t?11所以1?y2?t2?2,y1?y2?t2?2,?1??2t所以y1y2------------14分
k21?kk1?k2?所以t?12t?(1y?1)?2?221y2t，所以k?2.3成立．--------15分
19.(I)因为点
?an,an?1?在直线y?2x?1上，所以an?1?2an?1，
所以an?1?1?2(a?1?2n?1n?1)，所以an?a1?1??2n
n所以
an?2?1----------------------4分 b11n?an((II)因为
a?1??1a2a)n?1
bn1bn?11所以a?11na?a???1112aa??1?n?1，n?1a1a2a?n?1an，
bn?1?bn?1?1?bn1?bn?an所以有an?1ananan，所以bn?1an?1成立．-----8分
1?bn（III）由(I) 、(II)可知，b1?a1n?2?an1?，b2?a2?3，时，bn?1an?1
T???1?1????1?1??1?bnn?b??1?1?1?b11?b1??b2??b??n?b?2?1?b31b2b3bn
?1?b11?bnanb?1?b2?1?b31b2b3b4b?b1?b1a2a3n?1?b??n?11b2a3a4a?bn?1n?1
?(1?b1)a2?bn?1?2?bn?111ba?2(?a??11b2n?1an?1a12a?1a)n?1n-------------10分
1?1?1?1?1?11a??1又因为a1a?2n?1an3?2n?1?12n?1
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k?1k?1k?1k2?12(2?1)?(2?1)11???2??kkk?1kk?1kk?1(2?1)2?1(2?1)2?1(2?1)2?1??????a2?1所以k
?2(11?)kk?12?12?1（其中k?2,3,4,,n）---------------13分
111Tn???2a1a2所以
?11?an?1an
??11??11??1?2??2?3???3?4????2?12?1??2?12?1?1?25?1?1?2?2?n?1??1??33 ?2?12?1?1???1??n?n?1???2?12?1??
?1??1?1?1?????b1??b2??所以有
20.(I) （i）因为
?1?101??T???nb3n??成立．-------------15分．
，且a?b?c，所以a?0,c?0，且a?c??b，
f?1??a?b?c?02f?m???am,am?bm?c?a?0成立， m因为存在实数使得，即存在实数使
所以
??b2?4a?a?c??0，即
b2?4ab?b?4a?b??0---------2分
因为4a?b?3a?a?b?3a?c?0，所以b?0．-------------------4分
cf?x??0（ii）由题意可知的两根为a，
1,c??cf?x??a?x???x?1??0a??所以可设，其中a?0，a，---------５分 c?c???a?m???m?1???am????m?1???1?0f?m???aa?a?因为，所以?，即?
c?m?1a所以必有，-------------------------６分
cbc?1???0??1a?0,c?0a由于a?c??b?0，，所以a，即a cc??2?2???1a又因为a?b??a?c，所以a，所以-----------７分
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m?3?3?所以所以
c?3?2?1a
，即
f?m?3??f?1??0?2?f?m?3??0成立．----------８分．
(II) 由(I)可知 因为
c??1a，
，
的图象与x轴必有两个交
y?g?x??f?x??bx?0?ax2?2bx?c?0，所以函数
??4b2?4ac?4?b2?ac??0y?g?x??f?x??bx点，记为
?x1,0?,?x2,0?，则d?x1?x22，
2x1?x2??2bc,x1?x2?,aa
2d2??x2?x1?4b4c4(a?c)4c2?2??x1?x2??4x1x2?a2?a?aa-------１０分
??c?2c???c1?23?c?4?????1??4???????2???1??a?a???? （其中???a2?4?a）---------１２分
2所以4?d?12，所以2?d?23------------------------------１４分．
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