甲 不给 乙 实施 不实施 （0，0） 给 （-1000，1000）
（-∞，-∞） 两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）
实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。
问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是
?1??（p?aq?c)2?q，企业2的利润函数是?2??（q?b)2?p，其中
p是企业1的价格，q是企业2的价格。求：
（4）是否存在参数
（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
??1??2(p?aq?c)?0?p解：（1），解得：p?ab?c,q?c
??2??2(q?b)?0?q?1?b,?2?ab?c
??2（2）??2(q?b)?0，代入得到
?q???1??（p?ab?c)2?b，1??（2p?ab?c)?0，得
?pp?ab?c，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价p?ab?c，企业2的定价q?b，利润也与（1）相同。与同时选择无异。
（3）将p?aq?c代入 ?2??（q?b)2?p??（q?b)2?aq?c
a??2??（2q?b)?a?0，解得q??b，代入得
2?qa2p??ab?c
2
6
2aa*?1*??b?b，?2??ab?c?ab?c
24（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。①当
P(Q)?a?Q，其中Q?q1?q2?q3，
qi是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择产量q1，厂商2和厂商3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量和利润是多少？
问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为解：
a2?ab?c?ab?c?a?0，企业2希望先决策； 4a?b时，企业1希望先决策，只要a?0都希望自己先决策。 ②当b?2aa2b?0,?b?0,ab?c?0,?ab?c?0，因此当
24aa?0,b??和c?ab时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。
2?i??(a?c)?(q1?q2?q3)?qii?1,2,3 ??2?a?c?q1?2q2?q3?0?q2
??3?a?c?q1?q2?2q3?0?q311q2?q3?(a?c?q1)，代入得?1?(a?c?q1)q1
331d?11***令?0,q1?(a?c)，代入得：q2?q3?(a?c)
6dq12111**?1*?(a?c)2,?2?(a?c)2,?3?(a?c)2
123636问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到
c?1，该项技术需要投资fc?2。
。在企业1作出是否投资
的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为其中
p(q)?14?q，
p是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新
技术？
解：以未引进技术为基准
?1?(14?q1?q2)q1?2q1??1??2，令??0，得
?2?(14?q1?q2)q2?2q2?q1?q2
7
如果引进技术，
q1?q2?4,??1??2?16
?1?(14?q1?q2)q1?q1?f令
196??1?f??0，得q1?,q2?,??1??339?q1?q2?2?(14?q1?q2)q2?2q21411??2
只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即
19619652?f?16，即f??16?时企业1才会引进新技术。 999问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的
t?100小时，重点复习只需要花费t2?20小时。学生的效用
函数为：U?W?2e，其中W是考试成绩，有高低两种分数Wh和Wl，e为努力学习的时
概率考好。全面复习花费的时间1间。问老师如何才能促使学生全面复习？
解：学生全面复习的期望得益
u1?0.9?(wh?200)?0.1?(wl?200)?0.9wh?0.1wl?200
学生重点复习的期望得益
u2?0.5?(wh?40)?0.5?(wl?40)?0.5wh?0.5wl?40
根据激励相容的条件，u1?u2，所以有
0.9wh?0.1wl?200?0.5wh?0.5wl?40 所以：0.4(wh?wl)?160 故：wh?wl?400
奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。 学生 全面 成绩 高分0.9 低分0.1 重点 成绩 高分0.5 低分0.5 Wh-200 问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为
Wl-200 Wh-40 Wl-40 .m?0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。
解：第三阶段，律师 努力的期望得益：
0.5?20?0.5?5?7.5
8
不努力的期望得益：满足激励相容约束
0.15?24.5?0.85?0.5?3.25
第二阶段： 接受委托并努力工作
第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么
7.5?3.25&7.5?50.5?225?0.5?0?112.5?0
委托是必然的选择。
打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。 1 委托 不委托
2 （0，5）
拒绝 接受 1 （0，5）
不努力 努力 0 0 输0.5 赢0.15 输0.85 赢0.5 （225，20）
（0，-5） （225，24.5） （0，-0.5）
第四章习题
一、如果T次重复齐威王田忌赛马，双方在该重复博弈中的策略是什么？博弈结果如何？
答：因为这是零和博弈，结论比较具体。重复Nash均衡，均以1/6的概率选择各个策略，期望收益分别为1和-1。
因为这是竞争性的零和博弈，无论是有限次重复博弈还是无限次的重复博弈，均不能达成合作的条件。 二、举出现实生活中的一个重复博弈与一次性博弈效率不同的例子。
答：火车站和机场餐饮业的服务的顾客往往是一次性的，回头客和常客也比较少，价格高，质量差，一次性博弈。效率也比较低。
商业区和居民区的餐饮业和商业服务业，回头客和常客比较多，比较注重信誉，质优、价廉，重复博弈。效率也比较高。
三、有限次重复博弈和无限次重复博弈有什么区别？这些区别对我们有什么启发？
答：动态博弈的逆向归纳法可以用于有限次重复博弈，但不能用于无限次重复博弈，主要用逆向归纳法。
无限次重复博弈的效率往往高于有限次重复博弈。当重复次数较少不一定考虑贴现问题，但无限次重
9
复博弈必须考虑贴现问题。
启发：重视有限次与无限次的区别，区分和研究这两类博弈，在实践方面重要启发是促进和保持经济的长期稳定和可持续发展，提高社会经济效率是非常有意义的。
四、判断下列表述是否正确，并作简单讨论：
（1）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡每次重复采用的都是原博弈的纳什均衡。 答：不一定。对于有两个以上纯策略纳什均衡的条件下就不一定。如“触发策略”就不是。 （2）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡的最后一次重复必定是原博弈的一个纳什均衡。 答：是，根据子博弈完美纳什均衡的要求，最后一次必须是原博弈的一个纳什均衡。 （3）无限次重复博弈均衡解的得益一定优于原博弈均衡解的得益。 答：错。如严格竞争的零和博弈就不优于。
（4）无限次重复古诺产量博弈不一定会出现合谋生产垄断产量的现象。
答：正确。合谋生产垄断产量是有条件的，由贴现率来反映，当不满足条件时，就不能构成激励。 （5）如果博弈重复无限次或者每次结束的概率足够小，而得益的时间贴现率个体理性的可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现。
答：这就是无限次重复博弈的民间定理。
（6）触发策略所构成的均衡都是子博弈完美纳什均衡。
答：错误。触发策略本身并不能排除重复博弈中不可信的威胁和承诺，因此由触发策略构成的不一定是子博弈完美纳什均衡。
五、为什么消费者偏好去大商店买东西而不太信赖走街穿巷的小商贩？
答：去大商店买东西，重复博弈——合作诚信问题；走街穿巷的小商贩，一次性博弈——没有合作的必要，存在不诚信和欺诈。
建立信用制度和诚信档案的必要性。 六、寡头的古诺产量博弈中，如果市场需求成本，贴现因子
?充分接近1，那么任何
P?130?Q，边际成本C?30且没有固定
??0.9。如果该市场有长期稳定性，问两个厂商能否维持垄断产量？
（130?q1?q2)q1?30q1??1?解：?，古诺产量
（130?q1?q2)q2?30q2??2?10010000****，利润为：???? q1?q2?1239（130?q)q?30q， 垄断产量???qm?50，?m?2500
市场长期稳定的，
?m2?1250
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