（Ⅱ）∵PA?3，PB?33，?PAB?60?，由余弦定理得AB?6，
∴tan?GAB?125，∴直线DC与平面PAB所成角的余弦值为. 254500?90，所以应收集90位女生的样本数据.
1500019.解：（Ⅰ）300?（Ⅱ）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1?2?(0.100?0.025)?0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300?0.75?225（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 2男生 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300 300?(165?30?45?60)2100??4.762?3.841. 结合列联表可算得K?2175?225?210?90所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
x2y220.【解析】：（1）由e?2，可得c?2a，∴b?c?a?3a，∴双曲线方程为2?2?1，∵点M(5,3)在
a3a2222双曲线上，∴
53222??1a?4，解得，∴双曲线的方程为3x?y?12. 22a3a（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m，由??y?kx?m?3x?y?1222消去y整理得
(3?k2)x2?2kmx?m2?12?0(*)，∵直线l与双曲线交于P，Q两点，
∴??(2km)2?4(3?k2)(?m2?12)?12(m2?4k2?12)?0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
2kmm2?12则x1?x2?，x1x2?，由OP?OQ?0得到：x1x2?y1y2?0，
3?k23?k2m2?122km?km?2?m2?0， 即(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?0，∴(1?k)2k?3k?3222384k2化简m?6k?6.∵OP?OQ?PQ?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?24?2?24， 2(k?3)2222222当k?0时，上式取等号，且方程(*)有解.
②当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x?t，则有P(t,y)，Q(t,?y)(y?0)，
2222222由OP?OQ?0可得y?t，可得3t?t?12，解得t?6,∴PQ?4y?4t?24.
222222∴OP?OQ?PQ?24.综上可得OP?OQ的最小值是24.
11x2?1xx2?1?1，∴f'?x????21.【解析】（1）当a??时，f?x???lnx?，
2242x22x∵f?x?的定义域为?0,???，∴由f'?x??0，得x?1.∴f?x?在区间?,e?上的最值只可能在f?1?，f??，
?e??e??1??1?5f?e?取到，而f?1??，
4（2）f'?x?51e21e2?1?31f????2，f?e???，f?x?max?f?e???，f?x?min?f?1??，
42424?e?24ea?1?x2?a??，
xx??0,???，
①当a?1?0，即a??1时，f'?x??0，∴f?x?在?0,???上单调递减； ②当a?0时，f'?x??0，∴f?x?在?0,???上单调递增；
③当?1?a?0时，由f'?x??0得x?2?a，∴x?a?1?a?a或x??（舍去）. a?1a?1??a???a?∴f?x?在??a?1,????上单调递增，在??0,a?1??上单调递减；
????综上，当a?0时，f?x?在?0,???单调递增；
??a???a?当?1?a?0时，f?x?在??a?1,????单调递增，在??0,a?1??上单调递减.
????当a??1时，f?x?在?0,???单调递减； （3）由（2）知，当?1?a?0时，fmin?x??f????a???， a?1????a?a?aa?1?aa?1?ln?a即原不等式等价于f?，即aln???1?1?ln??a?， ????a?1?2a?12a?12??整理得ln?a?1???1，∴a?1?1??1，又∵?1?a?0，∴a的取值范围为??1,0?. e?e?22222.解：（1）圆C的极坐标方程为??2cos?即??2?cos?，即(x?1)?y?1，表示以C(1,0)为圆心、半径等
于1的圆.
?13x??t?11?22（2）∵点A的直角坐标为(,)，∴点A在直线?（t为参数）上.
22?y?1?1t??22把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t?根据参数的几何意义可得AP?AQ?t1?t2?211?31t??0.由韦达定理可得t1?t2???0，
2221. 223.【解析】（1）当a?2时，由f(x)??1可得2x?2?x?1??1，所以 当x??1时，不等式转化为?x?3??1，无解， 当?1?x?1时，不等式转化为?3x?1??1，解得
2?x?1， 3当x?1时，不等式转化为x?3??1，解得1?x?2， 综上可知，不等式f(x)??1的解集为{x|2?x?2}. 3（2）当x?[1,3]时，f(x)?2恒成立，即2x?a?2?x?1?x?3， 故(x?3)?2x?a?x?3，即x?3?a?3x?3对任意的x?[1,3]恒成立， 所以0?a?6.