第10章 图
习题10
1.(1)图G的度数列为2、2、3、3、4，则G的边数是多少？
(2)3、3、2、3和5、2、3、1、4能成为图的度数列吗？为什么？
(3)图G有12条边，度数为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，问图G中至多有几个结点？为什么？
解 (1)设G有m条边，由握手定理得2m＝?v?Vd(v)＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得?v?Vd(v)＝2m＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，
其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G中至多有9个结点。
2.若有n个人，每个人恰有3个朋友，则n必为偶数。
证明 设v1、v2、?、vn表示任给的n个人，以v1、v2、?、vn为结点，当且仅当两人为朋友时其对
n应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G。由握手定理知?k?1d(vk)＝3n必为偶数，从而n必为偶数。
3.判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？ (1)(1，1，1，2，3)。 (2)(2，2，2，2，2)。 (3)(3，3，3，3)。 (4)(1，2，3，4，5)。 (5)(1，3，3，3)。
解 由于非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)是可图化的当且仅当?di≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、
i?1n(3)、(5)能构成无向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。
(5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G以为1，3，3，3度数列，不妨设G中结点为v1、v2、
v3、v4，且d(v1)＝1，d(v2)＝d(v3)＝d(v4)＝3。而v1只能与v2、v3、v4之一相邻，设v1与v2相邻，于
是d(v3)＝d(v4)＝3不成立，矛盾。
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第10章 图
4.试证明图10-48中的两个无向图是不同构的。
证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。
5.在图同构意义下，试画出具有三个结点的所有简单有向图。
解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)?(16)为其生成子图。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)6.给定无向完全图G＝
解 (1)G的所有子图如图所示。 (2)图(8)?(18)是G的所有生成子图。
(7)(8)(9)(10)(11)(12)(1)(2)(3)(4)(5)(6)
7.(1)试给出一个五个结点的自补图。
(13)(14)(15)(16)(17)(18) 2
第10章 图
(2)是否有三个结点或六个结点的自补图。
(3)一个图是自补图，则其对应的完全图的边数必是偶数。 (4)一个自补图的结点数必是4k或4k＋1。
解 (1)五个结点的图G与它的补图G如图所示。对G与G建立双射：v1?v1，v2?v2，v3?v3，v4?v4，
v5?v5。显然这两个图保持相应点边之间的对应的关联关系，故G?G。因此，G是五个结点的自补图。
(3)设图G是自补图，有m条
（1）G（2)G边，G对应的完全图的边数
为s，则G对应的补图G的边数为s－m。因为G?G，故边数相等，即有m＝s－m，s＝2m，因此G对应的完全图的边数s为偶数。
(2)由(3)知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n个结点的完全图Kn的边数为n(n－1)，当n＝3
21或n＝6时，Kn的边数为奇数，因此不存在三个结点或六个结点的自补图。
(4)设G为n阶自补图，则需n(n－1)能被2整除，因此n必为4k或4k＋1形式。
218.一个n(n≥2)阶无向简单图G中，n为奇数，已知G中有r个奇数度结点，问G的补图G中有几个奇数度结点？
解 由G的补图G的定义可知，G∪G为Kn，由于n为奇数，所以Kn中各顶点的度数n－1为偶数。对于图G的任意结点v，应有v也是G的顶点，且dG(v)＋dG(v)＝dKdG(v)和d(v)奇偶性相同，因此若
Gn(v)＝n－1，由于n－1为偶数，所以
G中有r个奇数度结点，则G中也有r个奇数度结点。
9.画出4阶无向完全图K4的所有非同构的生成子图，并指出自补图来。 解 下图中的11个图是K4的全部的非同构的生成子图，其中(7)为自补图。 10.
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设图G中有9
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个结点，每个结点的度不是5就是6。试证明G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
证明 由握手定理的推论可知，G中5度结点数只能是0、2、4、6、8五种情况（此时6度结点数分别为9、7、5、3、1）。以上五种情况都满足至少5个6度结点或至少6个5度结点的情况。
11.证明3度正则图必有偶数个结点。
n证明 设G为任一3度正则图，有n个结点v1、v2、?、vn，则所有结点度数之和?d(vi)＝3n。若n
i?1为奇数，则3n也为奇数，与握手定理矛盾。故n为偶数。
12.设G为至少有两个结点的简单图，证明：G中至少有两个结点度数相同。
证明 若G中孤立结点的个数大于2，结论显然成立。若G中有1个孤立结点，则G中至少有3个结点，因而不考虑孤立结点，就是说G中每个结点的度数都大于等于1。又因为G为简单图，所以每个结点的度数都小于等于n-1。因而G中结点的度的取值只能是1，2，?，n-1这n个数。由抽屉原理可知，取n-1个值的n个结点的度至少有两个是相同的。
13.给定无向图G＝
(3)长度分别是最小和最大的基本回路。 (4)长度分别是最小和最大的简单回路。 (5)从a到d的距离。
(6)?(G)、?(G)、?(G)、?(G)分别是多少？
解 (1)从a到d的所有基本路共有10条：abd，abcd，abed，abced，abecd，afed，afecd，afebd，afebcd，afecbd。
(2)从a到d的所有简单路共有14条：除（1）中的10条外还有abcebd，abecbd，afebced，afecbed。 (3)长度最小的基本回路共4个：bceb，bdeb，cdec，bcdb。长度最大的基本回路共1个：abdcefa。 (4)长度最小的简单回路共4个：bceb，bdeb，cdec，bcdb。长度最大的简单回路2个：abcebdefa，afebcedba。 (5)从a到d的距离为2。
(6)?(G)＝2，?(G)＝2，?(G)＝2，?(G)＝4。 14.给定有向图G＝
解 (1)d(a)＝2，d(a)＝1，d(b)＝1，d(b)＝2，d(c)＝1，d(c)＝1，d(d)＝2，d(d)＝2，d(e)＝1，d(e)＝1。
(2)从a到d的基本路2条：ad，abd。从a到d的简单路5条：ad，abd，adcbd，adead，adeabd。 (3)基本回路共3个abdea，adea，bdcb.简单回路共4个：abdea，adea，bdcb，adcbdea。
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第10章 图
15.(1)若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的。 (2)若有向图G中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达吗？
证明 (1)设无向图G中只有两个奇数度结点u和v。从u开始构造一条回路，即从u出发经关联结点
u的边e1到达结点u1，若d(u1)为偶数，则必可由u1再经关联u1的边e2到达结点u2，如此继续下去，每条边
只取一次，直到另一个奇数度结点为止，由于图G中只有两个奇数度结点，故该结点或是u或是v。如果是v，那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是u，该回路上每个结点都关联偶数条边，而d(u)是奇数，所以至少还有一条边关联结点u的边不在该回路上。继续从u出发，沿着该边到达另一个结点u?，依次下
1去直到另一个奇数度结点停下。这样经过有限次后必可到达结点v，这就是一条从u到v的路。
(2)若有向图G中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达不一定成立。下面有向图中，只有两个奇数度结点u和v，u和v之间都不可达。
16.若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的。
证明 设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G1、G2、?、Gk。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支Gi（1≤i≤k）中，在不同于Gi的另一连通分支上取一结点w，则[u，
wuwv]和[w，v]都不是图G的边，，因而[u，w]和[w，v]都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。
17.完成定理10.11的证明。
证明 充分性：若连通图G中存在结点u和w，使得连接u和w的每条路都经过e，则在子图G－{e}中u和w必不可达，故e是G的割边。
必要性：若e是G的割边，则G－{e}至少有两个连通分支G1＝
18.完成定理10.16的证明。
证明 先证任一结点至少位于一个单向分图中。
任给一结点v，若v是孤立结点，则含v的平凡图即为单向分图。若v不是孤立结点，则必有一个结点u，使得u与v有一弧e与它们联结。此时若有单向分图G1??V1,E1?，|V1|≥3，使u，v∈V1，且e∈E1，那么结论成立；若不存在这样的G1，则由u，v和e就构成一个单向分图。因此，任何结点至少位于一个单向分图中。
其次证明，任何一条弧至少位于一个单向分图中。
任给一弧e，其关联的结点u和v。若存在一单向分图G1??V1,E1?，|V1|≥3，使u，v∈V1，且e∈E1，那么结论成立。否则，u，v和e就构成一个单向分图。综上可知，任一弧至少位于一个单向分
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