南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学（理科） 2018.01
注意事项：
1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． ．．参考公式：
1
圆锥的体积公式：V＝3πr2h，侧面积公式：S＝πrl，其中r，h和l分别为圆锥的底面半径，高和母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．1．命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是 ▲ ．
2．已知复数z满足 z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是 ▲ ．
4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
??x≥0，5．已知实数x，y满足条件 ?y≥1，则z＝3x＋y 的最大值是 ▲ ．
?2x＋y－5≤0，?
y 6．函数 f(x)＝xe的单调减区间是 ▲ ． 7．如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切 2
于点(a，3)．若f ′(a)＝3，则实数a的值是 ▲ ．
3 1 O a x
l y＝f(x) x （第7题图） 8．在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆 x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为 ▲ ．
→→→→9．如图，在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，且BM＝xAB＋yAC＋zAP， 则x＋y＋z的值为 ▲ ．
P M C B （第9题图）
A x22
10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 3－y＝1的渐近线与 抛物线x2＝43y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB
的面积为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线
足条件的点A的个数为 ▲ ．
12．若函数f(x)＝x3－3x2＋mx在区间 (0，3) 内有极值，则实数m的取值范围是 ▲ ． x2y2
13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 a2＋b2＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C． →→若AF2＝2F2C，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0，5]，使得当x∈[0，m] 时，f(x)的取值范围
3x＋y－2＝0的距离为1，则满
是[0，am]，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．．
证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
2＋4mi
已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．
1－i（1）若z是纯虚数，求m的值；
——
（2）设z是z的共轭复数，复数z＋2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．
16．（本题满分14分）
如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点． （1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值； （2）设二面角A—BD—G的大小为θ，
求 |cosθ| 的值．
D
A
（第16题图）
B
E
C
D1
A1
F B1
G C1
17．（本题满分14分）
如图，圆锥OO1的体积为6π．设它的底面半径为x，侧面积为S． （1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在 直线l：x－y－1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．
19．（本题满分16分）
x2y243
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为x＝3，离心率
O O1
（第17题图）
3为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．
① 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值；
② 过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
O y A l1 M l2 x N Q
（第19题图）
20．（本题满分16分）
1
设函数f(x)＝2ax2－1－lnx，其中a∈R．
（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程； （2）若函数f(x)有两个零点x1，x2， ① 求a的取值范围；
② 求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．
南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）参考答案 2018．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分
标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．“若b≠0，则ab≠0” 2．
2
3．(1，0) 4．充分不必要 2
5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．3 8．3
9．0 10．33 11．3 12．(－9，3) 5
14．[1，3) 5
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
13．
15．（本题满分14分）
2＋4mi(2＋4mi)(1＋i)解（1）z＝＝ 1－i(1－i)(1＋i)
＝1－2m＋(2m＋1)i． …………………… 3分 因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，
1
解得m＝． …………………… 6分
2（2）因为z是z的共轭复数，所以z＝1－2m－(2m＋1)i． ……………………8分
所以z＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]
＝3－6m＋(2m＋1)i． …………………… 10分
因为复数z＋2z在复平面上对应的点在第一象限，
?3－6m＞0，所以? …………………… 12分
?2m＋1＞0，
—
——
—
1111
解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)． …………………… 14分
222216．（本题满分14分）
→→→解 如图，以{DA，DC，DD1}为正交基底建立坐标系D—xyz．
设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)， B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)． →（1）因为EF＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)， →DG＝ (1，2，2)， …………………… 2分 →→所以EF·DG＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，
x D A B （第16题图）
E C y A1 z D1 F B1 G C1 →→|EF|＝1＋(－1)2＋22＝6，|DG|＝3．
…………………… 4分
→→EF·DG36→→从而cos＜EF，DG＞＝＝＝，
→→6×36|EF||DG|
6→→即向量EF与DG的夹角的余弦为，
6从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为→→（2）DB＝(2，2，0)，DG＝ (1，2，2)．
设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．
6
． …………………… 7分 6
??→DB·n1＝2x＋2y＝0，
由题意，得 ?→
?DG·n1＝x＋2y＋2z＝0，?
取x＝2，可得y＝－2，z＝1．
所以n1＝(2，－2，1)． …………………… 11分 →又平面ABD的一个法向量n2＝DD1＝(0，0，2)， 21n1·n2所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．
|n1||n2|3×23
1
因此 |cosθ|＝． …………………… 14分
3
17．（本题满分14分）
解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．
136
因为圆锥的体积为6π，即 πx2h＝6π，所以h＝2．…………………… 2分
3x
因此 l＝x＋h＝
2236
x＋(2)2，
x
2
从而S＝πxl＝πx
36
x＋(2)2＝π
x
2
54x4＋2，(x＞0)． …………………… 6分
x
54108
（2）令f(x)＝x4＋2，则f ′(x)＝4x3－3 ，(x＞0)． …………………… 8分
xx
由f ′(x)＝0，解得x＝3． …………………… 10分
当0＜x＜3时，f ′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，3)上单调递减；
当x＞3时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增．
…………………… 12分
所以当x＝3时，f(x)取得极小值也是最小值．
答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分
18．（本题满分16分）